Área de um triângulo pela geometria analítica


Para descobrir a área de um triângulo na geometria plana é só efetuar uma relação com a medida de suas dimensões. Já na trigonometria, essa relação é feita com a medida do seno de um determinado ângulo interno e os lados do triangulo em questão.

Na geometria analítica existem outros métodos para calcular a área de um triangulo, nessa situação é preciso saber as coordenadas dos seus três vértices para que o triângulo consiga ser retratado em um plano cartesiano.

Os pontos e as coordenadas da geometria analítica além de determinar a áreas, também podem ser usados para calcular os coeficientes angulares das retas e as distâncias das figuras planas.

Área de um triângulo

Existe uma expressão matemática que determina por meio das coordenadas e pontos a áreas de uma região triangular, que pode ser representada da seguinte forma:

A = 1/2. |D|

Onde, a área será a metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos.

Essa expressão foi criada a partir do aspecto não colinear dos pontos, isto é, esses pontos não estão localizados em uma mesma reta e, por isso, indicam um triângulo.

Observa-se que a medida D é igual à matriz determinante para realizar a disposição de alinhamento entre três pontos. Dessa forma, se o determinante da área de um triângulo der igual a zero, quer dizer que o três pontos não formam um triângulo, uma vez que estão alinhados.

Uma consideração importante é em relação ao módulo da medida D, isto é, usa-se o valor absoluto da medida. Por se referir a uma área, não deve-se assumir um determinante negativo, já que isso ocasionaria uma área negativa, e isso não existe.

Considere um triangulo com coordenadas, A (xa, za), B (xb, zb) e C (xc, zc), não colineares. O módulo do determinante desse triângulo será:

D = |xa za 1|

|xb zb 1|

|xc zc 1|

Ex:

1) Um triângulo com coordenadas, A (4, 0), B (0, 0) e C (0, 6). Sua área pode ser calculada da seguinte maneira:

– Realizar o determinante das coordenadas

D = |4 0 1|4 0

|0 0 1|0 0

|0 6 1|0 6

D = -24

– Calcular a área

A = 1/2. |D|

A = 1/2. |-24|

A = 1/2. 24

A = 12

Portanto, a área do triângulo é igual a 12.

2)Um triângulo com área 25/2 e coordenada, (0, 1), (2, 4) e (-7, k). Ainda com a fórmula da área do triângulo pode-se calcular o valor de uma das suas coordenadas, da seguinte forma:

– Realizar o determinante das coordenadas

D = |0 1 1|0 1

|2 4 1|2 4

|-7 k 1|-7 k

D = -7 + 2k + 28 -2

D = 2k + 19

– Substituir na fórmula

A = 1/2. |D|

25/2 = 2k + 19/2

25 = 2k +19

25 – 19 = 2k

6 = 2k

k = 3

Portanto, o valor da coordenada k é igual a 3.

3) Um triângulo possui área igual a 20 e coordenadas A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0). Precisa-se descobrir a coordenada x.

– Substituir o valor da área

A = 1/2. |D|

20 = 1/2. |D|

|D| = 40

– Calcular o determinante

D = |0 0 1|0 0

|0 -8 1|0 -8

|x 0 1|x 0

D = 8x

– Substituir o valor do determinante

|D| = 40

|8x| = 40

8x = 40 ou 8x = -40

x = 5 ou x = -5

Portanto, o valor da coordenada x pode ser 5 ou -5.

Geometria Analítica

A Geometria Analítica, também conhecida como coordenadas geométricas, baseia-se no estudo da Geometria por meio do uso da Álgebra. Os primeiros estudos estão relacionados com o matemático René Descartes, fundador do modelo de coordenadas cartesianas.

Os estudos referidos a geometria Analítica começaram no século XVII, Descartes, ao conectar a Geometria com a Álgebra, geraram regras matemáticas adequadas para estudar através dos processos geométricos os domínios do ponto, da circunferência e da reta, definindo intervalos entre eles, pontos de coordenadas e localização.

Uma particularidade considerável da geometria analítica está no significado das formas geométricas de forma numérica, tirando dados relevantes para reprodução. A partir disso a matemática passou a ser reconhecida como uma disciplina moderna, apta a esclarecer e constatar situações pertencentes ao espaço. Os conhecimentos claros de vetores tiveram inicio de maneira conclusiva, na procura por conseqüências numéricas que mostrem a percepção da união entre Álgebra e Geometria.

Os cientistas Gottfriend Leibniz e Isaac Newton reuniram estudos na geometria analítica, que ajudaram como apoio prático e teórico para o aparecimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito usado nos dias atuais na Engenharia.

Alguns tópicos podem ser relacionados ao estudo da geometria analítica, entre eles:

– Estudo Analítico do Ponto

– Estudo da Reta

– Estudo da Circunferência

– Estudo das Cônicas.