Área de um triângulo pela geometria analítica
Para descobrir a área de um triângulo na geometria plana é só efetuar uma relação com a medida de suas dimensões. Já na trigonometria, essa relação é feita com a medida do seno de um determinado ângulo interno e os lados do triangulo em questão.
Na geometria analítica existem outros métodos para calcular a área de um triangulo, nessa situação é preciso saber as coordenadas dos seus três vértices para que o triângulo consiga ser retratado em um plano cartesiano.
Os pontos e as coordenadas da geometria analítica além de determinar a áreas, também podem ser usados para calcular os coeficientes angulares das retas e as distâncias das figuras planas.
Existe uma expressão matemática que determina por meio das coordenadas e pontos a áreas de uma região triangular, que pode ser representada da seguinte forma:
A = 1/2. |D|
Onde, a área será a metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos.
Essa expressão foi criada a partir do aspecto não colinear dos pontos, isto é, esses pontos não estão localizados em uma mesma reta e, por isso, indicam um triângulo.
Observa-se que a medida D é igual à matriz determinante para realizar a disposição de alinhamento entre três pontos. Dessa forma, se o determinante da área de um triângulo der igual a zero, quer dizer que o três pontos não formam um triângulo, uma vez que estão alinhados.
Uma consideração importante é em relação ao módulo da medida D, isto é, usa-se o valor absoluto da medida. Por se referir a uma área, não deve-se assumir um determinante negativo, já que isso ocasionaria uma área negativa, e isso não existe.
Considere um triangulo com coordenadas, A (xa, za), B (xb, zb) e C (xc, zc), não colineares. O módulo do determinante desse triângulo será:
D = |xa za 1|
|xb zb 1|
|xc zc 1|
Ex:
1) Um triângulo com coordenadas, A (4, 0), B (0, 0) e C (0, 6). Sua área pode ser calculada da seguinte maneira:
– Realizar o determinante das coordenadas
D = |4 0 1|4 0
|0 0 1|0 0
|0 6 1|0 6
D = -24
– Calcular a área
A = 1/2. |D|
A = 1/2. |-24|
A = 1/2. 24
A = 12
Portanto, a área do triângulo é igual a 12.
2)Um triângulo com área 25/2 e coordenada, (0, 1), (2, 4) e (-7, k). Ainda com a fórmula da área do triângulo pode-se calcular o valor de uma das suas coordenadas, da seguinte forma:
– Realizar o determinante das coordenadas
D = |0 1 1|0 1
|2 4 1|2 4
|-7 k 1|-7 k
D = -7 + 2k + 28 -2
D = 2k + 19
– Substituir na fórmula
A = 1/2. |D|
25/2 = 2k + 19/2
25 = 2k +19
25 – 19 = 2k
6 = 2k
k = 3
Portanto, o valor da coordenada k é igual a 3.
3) Um triângulo possui área igual a 20 e coordenadas A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0). Precisa-se descobrir a coordenada x.
– Substituir o valor da área
A = 1/2. |D|
20 = 1/2. |D|
|D| = 40
– Calcular o determinante
D = |0 0 1|0 0
|0 -8 1|0 -8
|x 0 1|x 0
D = 8x
– Substituir o valor do determinante
|D| = 40
|8x| = 40
8x = 40 ou 8x = -40
x = 5 ou x = -5
Portanto, o valor da coordenada x pode ser 5 ou -5.
Geometria Analítica
A Geometria Analítica, também conhecida como coordenadas geométricas, baseia-se no estudo da Geometria por meio do uso da Álgebra. Os primeiros estudos estão relacionados com o matemático René Descartes, fundador do modelo de coordenadas cartesianas.
Os estudos referidos a geometria Analítica começaram no século XVII, Descartes, ao conectar a Geometria com a Álgebra, geraram regras matemáticas adequadas para estudar através dos processos geométricos os domínios do ponto, da circunferência e da reta, definindo intervalos entre eles, pontos de coordenadas e localização.
Uma particularidade considerável da geometria analítica está no significado das formas geométricas de forma numérica, tirando dados relevantes para reprodução. A partir disso a matemática passou a ser reconhecida como uma disciplina moderna, apta a esclarecer e constatar situações pertencentes ao espaço. Os conhecimentos claros de vetores tiveram inicio de maneira conclusiva, na procura por conseqüências numéricas que mostrem a percepção da união entre Álgebra e Geometria.
Os cientistas Gottfriend Leibniz e Isaac Newton reuniram estudos na geometria analítica, que ajudaram como apoio prático e teórico para o aparecimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito usado nos dias atuais na Engenharia.
Alguns tópicos podem ser relacionados ao estudo da geometria analítica, entre eles:
– Estudo Analítico do Ponto
– Estudo da Reta
– Estudo da Circunferência
– Estudo das Cônicas.