Cálculo de derivadas

Nos cursos de educação superior pertencente à área das ciências exatas, há duas disciplinas matemáticas com as quais os discentes se deparam já no primeiro semestre e são capazes de assustar qualquer um, inclusive aqueles mais preparados: o cálculo I e a Geometria Analítica.

Apesar de difíceis, essas duas disciplinas fornecem as bases para que o aluno possa dar continuidade a seus estudos e se tornar um profissional extremamente capacitado, já que as aplicações dos princípios abarcados por essas matérias podem ser inúmeras.

Neste texto iremos tratar apenas do cálculo de derivadas, princípio abarcado pelo cálculo I e que pode ser extremamente útil na resolução de diversos problemas. Mas, antes de partimos para nosso assunto de interesse propriamente dito, devemos abrir um pequeno parêntese para falar, mesmo que brevemente, sobre as funções, já que elas são parte integrante das derivadas e, por isso, parte fundamental de seu processo de compreensão.

Funções

Talvez não seja muito difícil para a maioria dos alunos entenderem o que é uma função, já que um tópico de matemática previsto nos PCNs – Parâmetros Curriculares Nacionais – de matemática voltados ao ensino médio, sendo as escolas e colégios obrigados a abordarem o tópico.

O primeiro conceito que devemos ter em mente é o produto cartesiano, ou seja, todos os pares ordenados (x e y) de dois conjuntos (A e B), com xєA e yєB. Como exemplo, podemos pensar em dois conjuntos qualquer, como A = {1, 2, 3} e B = {0, 2}. Os pares ordenados desses dois subconjuntos seriam AxB – {(1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2)}; e BxA = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}. O importante é que ambos esses subconjuntos poderiam ser representados por meio de um diagrama cartesiano.

Toda essa explicação sobre os conjuntos e seus subconjuntos foi para chegar às funções, pois f é uma função de A e B se, e somente se, para cada elemento pertencente ao conjunto A (x є A) existir um só elemento pertencente a B (y є B), de maneira que (x, y) є f. Usando a notação adequada, tudo o que foi dito pode ser expresso da seguinte maneira: f : A -> B.

Disso podemos deduzir que se f é uma função de A em B, o domínio de f é D(f) = A e a imagem de f é Im(f) = {f(x) є B / x є A}. Tudo o que foi dito até agora pode parecer extremamente complicado, mas não é. Vamos resolver um exercício juntos para verificarmos o quão simples é a aplicação do conceito.

Sendo f(x) = 6.x.2, calcule f(-2) e f(4). Para resolvermos essa função, basta substituir o valor de f na função. Assim, para f(-2), temos que f(-2) = 6.-2-2 >> f(-2) = -12-2, logo f(-2) = 14. Para f(4), temos que 6.4-2 é igual a f(4) = 22.

Agora que já relembramos o conceito de função, podemos partir com mais segurança para o conceito e aplicação de derivadas.

Derivadas

Aqui, a primeira pergunta que deve ser feita é: o que é uma derivada? Lembra quando falamos do diagrama cartesiano na seção acima? Pois então, uma derivada é o coeficiente de inclinação de uma reta TANGENTE ao gráfico de uma função tal como y = f(x) em um ponto determinado P = (x0, f(x0)). Você deve estar se perguntando para que serve uma derivada, não é mesmo? Ela tem diversas aplicações na matemática, na engenharia e na física, como para cálculo de variação de volumes, de população, cálculo de velocidade instantâneo, cálculos com variação de duas grandezas, etc.
A derivada é calculada através da seguinte fórmula:

dy/dy = lim . fx – f(x0)/x – x0
x->x0

É importante dizer que “x – x0” pode ser substituído por h. Vale analisar cada situação e verificar quais das duas notações é a mais adequada. Cabem três observações sobre as operações realizadas com derivadas.

1) Em caso de somas ou subtrações de derivadas, basta efetuar a operação com as duas;
2) Diferente da soma e da subtração de derivadas, a derivada do produto não é o produto das derivadas. Há uma fórmula para calcular o produto de derivadas, conhecida como fórmula de Leibniz, segundo a qual:

d/dx[f(x)g(x)] = fx.d/dx.g(x) + g(x)d/dx.f(x)

3) Quando tratar-se de uma constante, a derivada sempre será igual a 0.

Este é, por assim dizer, o básico referente às derivadas. Inúmeras outras fórmulas porque há inúmeros outros tipos de derivadas. Há derivadas de uma constante, derivadas de x, derivadas de uma constante multiplicada por x, derivada da potência de base x, dentre outras.

O importante é ter mente que é necessário conhecer o básico de derivadas para mandar bem no assunto e conseguir resolver os exercícios propostos.