Circunferência e Círculo: Elementos, Ângulos e Relações Métricas


Os cálculos do comprimento de uma circunferência e da área de um círculo foram, por muito tempo, um gran­de problema a ser resolvido pelo homem. Atribui-se a Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a. C. aproxima­damente), que é considerado o maior matemático da Antiguidade, um método para calcular um valor aproxi­mado de tc.

Antes de Arquimedes, já se sabia que o comprimen­to de uma circunferência é um valor um pouco maior que três vezes o diâmetro dela própria. A questão era determinar quanto valia este “pouco a mais”. Arquimedes sabia que a área de um círculo é um valor compreendido entre os valores das áreas dos qua­drados inscrito e circunscrito a ele. Usando um círculo de raio um e os quadrados inscrito e circunscrito, ele obteve: 2 < área do círculo < 4. Com dois octógonos, obteve então: 2,8 < área do círculo < 3,3. A partir do uso de polígonos de 96 lados, ele chegou à seguinte apro­ximação: 3 — < área do círculo < 3 — ou 3,140845 < área do círculo < 3,142857. O círculo possuía raio uni­tário (S = tc • R2 = n • l2 = tc), portanto: 3,140845 Circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo chamado centro, todos no mesmo plano.

Circunferência e Círculo

Elementos da circunferência
CD = raio
t = tangente
s = secante
EF = corda
AB = corda = diâmetro

Raio

É o segmento que une o centro a um ponto qualquer da circunferência. É o conjunto de todos os pontos pertencentes à re­gião interior limitada pela circunferência e os pontos dela própria.

Área de um círculo

A área de um círculo é calculada pela seguinte fór­mula:
S = n • R2

Tangente: É a reta que toca a circunferência em um único ponto.

Secante: É a reta que intercepta a circunferência em dois pon­tos. O segmento formado pelos pontos de intersecção da secante com a circunferência é chamado de corda.

Diâmetro: É a corda que passa pelo centro da circunferência, e que portanto mede o dobro da medida do raio.

Ângulos na circunferência

Central
É o ângulo com vértice no centro da circunferência.

(2R)2 = 62 + 82
4R2 = 100
R2 = 25
S = tc • R2 = 25n u.a.

A medida do ângulo central é igual à medida do arco por ele determinado sobre a circunferência.

Inscrito

É o ângulo com vértice sobre a circunferência.

De segmento

É o ângulo com vértice sobre a circunferência, um dos lados na secante e o outro na tangente, concorrentes no vértice do ângulo. A medida do ângulo inscrito é igual à metade da me­dida do arco por ele determinado sobre a circunferência. A medida do ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco por ele determinado sobre a circunfe­rência. Em relação a um mesmo arco de circunferência, um ângulo central tem medida igual ao dobro da medida de um ângulo inscrito. Um ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. Dessa maneira, um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência tem como hipotenusa o diâmetro da circunferência.

Excêntrico interior (vértice interno)

É o ângulo de vértice interno à circunferência for­mado por duas cordas que se interceptam em um ponto distinto do centro. Exemplo: se um ângulo inscrito mede 60°, a medida do ângulo central com as extremidades do arco coinci­dentes com as do ângulo inscrito vale ângulo central = = dobro do ângulo inscrito —> mede 120°

Excêntrico exterior (vértice externo)

É o ângulo de vértice externo à circunferência for­mado por duas semi-retas secantes, duas semi-retas tan­gentes ou uma semi-reta secante e outra tangente.

Relação métrica entre duas secantes

A medida de um ângulo de vértice externo é igual à metade da diferença entre os valores dos arcos maior e menor determinados por ele sobre a circunferência.

Relações métricas na circunferência

PA • PB = PC • PD

Quando uma secante e uma tangente se interceptam num ponto exterior a uma circunferência, o quadrado da medida da tangente é igual ao produto da medida da se­cante inteira pela medida de seu segmento externo.

PA • PA – PC • PD =» (PA)2 = PC • PD

Exercício resolvido

Considere a circunferência da figura a seguir, de cen­tro O e raio igual a 9 m. Sabe-se que a tangente PB = 2 • PA. Neste caso, a distância do ponto P à circun­ferência é

(PB)2 = PA • PC
(2PA)2 = PA • (18 + PA)
PA= x
4×2 = 18x + x2
3×2- 18x = O
x, = O => não verifica
x2 = 6 m

Relação métrica entre duas tangentes

Quando duas tangentes se interceptam num ponto exterior a uma circunferência, os segmentos originados são congruentes. Para o cálculo do comprimento e da área de um se­tor, usa-se a regra de três. Observe como isso ocorre.

Comprimento
360° 2n • R a C .

Área
360° n • R2 a S .

PA = PB

Propriedades

A perpendicular à tangente, no ponto de tangência, passa pelo centro.

A perpendicular à corda, no ponto médio, passa pelo centro.

Segmento circular

Retirando-se a área do triângulo AOB da área de um setor circular AOB, obtém-se a região chamada de seg­mento circular. A área de um segmento circular é obtida por meio do raciocínio da definição anterior. Observe.

Coroa circular

É a região limitada pelas circunferências de dois cír­culos concêntricos e com medidas de raios distintas. A área de uma coroa circular é obtida pela diferença entre as áreas dos círculos maior e menor.
S      = Ti • R2 – ti • r2