Conceitos da Circunferência e Posições Relativas à Circunferência


Diversos são os exemplos de circunferência e de cír­culo presentes no cotidiano. Um brinco de “argola” dá ideia de circunferência; um CD ou um DVD (desconsi­derando-se o orifício central) dão ideia de círculo.

Definição

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos equi­distantes de um ponto fixo, desse mesmo plano. O ponto fixo é o centro da circunferência e a distância de um ponto qualquer do conjunto de pontos equidistantes ao ponto fixo é o raio.

Conceitos da Circunferência

Um caso particular de equação reduzida da circun­ferência ocorre quando o centro estiver na origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, quando o centro da circunferência é dado pelo ponto C (O, 0).

x2 + y2 = R2

II.  Exercício resolvido

(Unifoa-MG) Qual é a equação da circunferência de centro (3, -2), que passa pela origem?
a. b. c. d.
(x + 2)2-(y-3)2=13 (x-3)2 + (y + 2)2= 13 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 5 (x + l)2 + (y – l)2 = l e.    (x – l)2 + (y + l)2 = 5

A circunferência apresenta comprimento, cal­culado por C = 2nR. O círculo apresenta área, cal­culada por S = C (3,-2) e O (0^0)
R = doc = V(3 – 0) 2 + (-2 – 0): (x – x0)2 + (y – yc)2 = R2 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 13

Equação reduzida

É possível obter, utilizando-se o Teorema de Pitágoras, a distância entre dois pontos.

Equação geral ou canônica da circunferência

O desenvolvimento da equação reduzida de uma cir­cunferência, organizando-se os termos de forma conve­niente, fornece uma equação chamada equação geral. Sabe-se que a distância do ponto C (xq, y0) ao pon­to P (x, y) é igual ao raio da circunferência com centro em C (xq, y0) e que passa por P (x, y). Assim, obtém-se uma equação chamada de equação reduzida da cir­cunferência.

(x – x0)2 + (y – y0)2 – R2

Condições para que uma equação represente uma circunferência

Seja a equação do segundo grau completa, nas variá­veis x e y: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = O. Comparando-se essa equação com a equação geral de uma circunferência x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + x2 + y2 – R2 = O, obtém-se A = B = l   -> la condição C = O   -> 2a. condição

Obtenção do centro e do raio

Para se obter as coordenadas do ponto C (x0, y0), centro da circunferência, e o valor do raio R, a partir de uma equação de circunferência dada na forma reduzida, basta fazer a comparação com (x – xQ)2 + (y – y0)2 = R2. Exemplo: o centro e o raio, da circunferência de equa­ção (x – 2)2 + (y + 4)2 = 4, igual a (x – xq )2 + (y – y0)2 = R2, x0=2 ey0=-4 são C (2, -4) R2 = 4 -» R = 2.

Para se obter as coordenadas do ponto C (x0, y0), centro da circunferência, a partir de uma equação de cir­cunferência dada na forma geral (obedecidas às condi­ções para que a equação dada represente uma circunferência), basta efetuar a divisão dos coeficientes de x e de y da equação por (-2).
R = Vxo + Yo – F = V22 + (-3)2 + 3
= 4 x0+y0  =4 + 2-3 = 3

POSIÇÕES RELATIVAS À CIRCUNFERÊNCIA

Ponto e circunferência

Pode-se determinar a posição relativa entre uma cir­cunferência À, e um ponto P empregando uma regra prá­tica: transformar a equação da circunferência em uma expressão E = x2 + y2 – 2xQx – 2y0y + x2 + y^ – R2 e substituir as coordenadas do ponto P (xp, yp) na expres­são. Conforme o resultado obtido:
E < O —> interior E = O -> pertencente E > O —» exterior.

Reta e circunferência

Pode-se determinar a posição relativa entre uma cir­cunferência À, e uma reta r por meio da resolução do sistema de equações com duas variáveis, formado pelas equações da reta e da circunferência: isola-se uma das variáveis na equação da reta e substituem-se essas variá­veis na equação da circunferência. A análise do valor do discriminante A (A = b2 – 4ac) da equação do segundo grau obtida resulta em:

A > O -t Xj * \2 —> dois pontos distintos —> secantes A = O -» Xj = x2 —> um único ponto —> tangentes A < O ->^t e R —> não existe ponto —> exteriores