Determinantes de Matrizes 1×1, 2×2, 3×3, 4×4 e Regra de Chió


Os estudos de determinantes estão associados aos sistemas de equações lineares e constituem um instru­mento bastante útil na investigação e verificação de pro­priedades de matrizes quadradas. A seguir serão abordados os cálculos de determinan­tes das ordens l, 2, 3 e 4, observando que se calculam determinantes de matrizes quadradas de qualquer ordem.

O caso mais simples é o do determinante de ordem l, embora seja pouco utilizado em aplicações práticas. O cálculo de determinantes fundamenta-se no núme­ro de inversões de uma permutação.

Determinantes de Matrizes

Exemplos:
1.             Dado o conjunto A = {l, 2}, podem ser forma­dos dois pares de elementos diferentes, que re­presentam as permutações 12 ou 21.
2.             Dado o conjunto B = {l, 2, 3}, podem ser for­mados seis pares diferentes, sem repetição de elementos, que representam as permutações: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.

O número de inversões é obtido a partir da coloca­ção dos elementos em ordem crescente ou decrescente, em relação ao algarismo a sua esquerda.
Nas permutações 123, 132, 213, 231, 312 ou 321, pode-se observar que

•  123: não tem inversão;
•  132: uma inversão (o 3 está situado antes do 2);
•  213: uma inversão (o l está situado depois do 2);
•  231: duas inversões (o l está situado depois do 2 e do 3);
•  312: duas inversões (o l está depois do 3 e o 2 está depois do 3);
• 321: três inversões (o 2 está depois do 3 e o l depois do 2 e do 3).

Quando ocorre um número par de inversões, diz-se que a permutação é par. Se o número de inversões for ímpar, a permutação é ímpar. Para definir determinante, utiliza-se o conceito acima descrito, a partir de determinantes de matrizes quadradas de ordem maior que 3. No caso, a quantidade de termos do determinante é bastante elevada e o cálculo pela defi­nição se torna inviável, do ponto de vista prático. Um dos matemáticos mais influentes nos estudos de determinantes foi Cari Jacobi, que viveu no século XIX e elaborou várias teorias sobre o assunto.

Dada uma matriz quadrada de ordem n, pode-se asso­ciá-la, por meio de certas operações, a um número real denominado determinante da matriz.

Determinante de matriz 1×1

Dada a matriz A = [an], seu determinante é o pró­prio número au. det [an] =   au   = au Exemplo: Para a matriz A = [-4], tem-se det A = det [-4] = -4

Determinante de matriz 2×2 e 3×3

Seu determinante pode ser calculado usando-se uma regra prática, de­nominada Regra de Sarrus. Aplicando agora a Regra de Sarrus, obtém-se: det A = -l • [4-8 + 15 + 40-4-3] det A = -44

As etapas que compõem essa regra são as seguintes:
lº   Repete-se, após a 3a linha, a la e a 2a linhas:
2º   Efetuam-se os produtos dos elementos indicados, conservando o sinal.
3º Efetuam-se os produtos dos elementos indicados, trocando os sinais. Efetuam-se os produtos dos elementos indicados, trocando os sinais.
4º Somam-se os produtos obtidos.

Por meio dessa regra é possível passar de uma ma­triz de ordem n para outra, de ordem (n – 1), de igual determinante.

Cada elemento restante do determinante acima está associado a dois elementos que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).
Em seguida, subtrai-se do elemento restante o pro­duto de dois outros que foram elimi­nados.
2 – (-3) • (-2)    3 – (0) • (-2)    O – (4) • (-2)
1 – (-3) • (0)    -l – (0) • (0)     l – (4) • (0)
2 – (_3) • (1)    -l – (0) • (1)     5 – (4) • (1)

Multiplica-se o determinante conseguido por (- l)i+j, em que i corresponde a linha e j representa a coluna retiradas (nesse caso, T. linha e 3?

Determinante de matriz (4 x 4)

Regra de Chio

A Regra de Chio é mais uma técnica que facilita mui­to o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n > 2. Para que a Regra de Chio possa ser aplicada, a ma­triz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a (+1). Assim, fixado um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra. Tome-se, por exemplo, o elemento a23 = l:

Propriedades dos determinantes

lº   Um determinante é nulo quando todos os ele­mentos de uma fila são nulos.