Discussão de um Sistema Linear


Discutir um sistema de equações lineares significa examinar as possibilidades quanto às soluções. Antes de discutirmos os sistemas lineares, vamos analisar uma equação bem simples do 19 grau, ou seja: a . x = b, onde a e b são números reais. Observe as três situações:
• 1a Situação: a*0. A equação tem uma única solução, pois: ax = b
• 2a Situação: a = b = O. A equação tem infinitas soluções, pois: 0.x = 0=>S = IR corresponde a uma sentença indeterminada, ou seja, qualquer número real x a verifica.
• 3a Situação: a = O e b * O. A equação não tem solução, pois nenhum valor de x a verifica.

Sistema Linear

Vamos, nesta aula, discutir apenas sistemas lineares onde o número de equações é igual ao número de incóg­nitas. É necessário observar três exemplos de sistemas li­neares escalonados.

Exemplo 1:
Considere o seguinte sistema:
3x + y + z = 4
2x – y – z = 6
-4x + y – 5z = 20

Após escalonamento, resulta: x + 2y + 2z = -2 -6z = 30
Como o número de equações, no sistema escalo­nado, é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado, ou seja, existe apenas uma solução.

Exemplo 2:
Considere o seguinte sistema:
fx – 2y + 3z = -11
-2x + 5y-7z = 27
c – 5y + 8z = -28

Após escalonamento, resulta: x – 2y + 3z = -11 y-z = 5 |0.z = 0, ou ainda: x – 2y + 3z = -11 y-z = 5. Como o número de equações, no sistema escalo­nado, é menor que o número de incógnitas, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, existem infini­tas soluções. Observe que uma equação, após o escalonamento, foi suprimida.

Exemplo 3:
Considere o seguinte sistema:
x + 3y + 2z = 2
– 13x + 5y + 4z = 4
5x + 3y + 4z = -10

Após escalonamento resulta: fx + 3y + 2z = 2 j -4y – 2z = -2. Como a última equação é um absurdo, pois não existe valor de z que verifique a igualdade, o sistema é impossível, ou seja, não admite solução.

Observe os exemplos, a seguir, relacionados com a discussão de sistemas.

Exemplo 1: Discutir o sistema linear nas incógnitas x e y, consi­derando o parâmetro m: x + 2y = 2 [2x + my = 5
Resolução:
• Vamos escalonar o sistema:
Jx + 2y = 2 [2x + my = 5
x + 2y = 2 (m-4)y = 1
Discussão:
(19) Se m – 4 * O, isto é, m * 4, o sistema é possível e de­terminado.
(2) Se m – 4 = O, isto é, m = 4 o sistema é impossível, pois a última equação seria O . y = 1, que, evidente­mente, é um absurdo.

Exemplo 2:
Discutir o sistema linear nas incógnitas x e y, consi­derando os parâmetros a e b: x + 2y = 3 [2x + ay = b
Resolução:
Vamos escalonar o sistema:
Vamos, agora, discutir sistemas lineares cujas equa­ções têm o que chamamos parâmetros.
Mas o que é parâmetro?

Exemplo 4:
Discutir o sistema linear nas incógnitas x, y e z, con-(1 ?) Se a – 4* O, ,isto é, a * 4, o sistema e possível e desconsiderando o parâmetro m:

(2a) Sea-4 = 0eb-6 = 0, isto é, a = 4eb = 6, a última equação resulta O . y = O Logo, o sistema é possível e indeterminado.
(3a) Sea-4 = 0eb-6*0, isto é, a = 4 e b * 6, a última equação resulta O . y = k   (k * 0) Logo, o sistema é impossível.

Exemplo 3:
Discutir o sistema linear nas incógnitas x, y e z, con­siderando o parâmetro k:
Resolução:
• Vamos escalonar o sistema:

x + y + z = -5
2x – 3y + z = k
3x – 2y + 4z = O

x + y + z = -5 —* • (-2) 2x-3y + z = k+«— 3x – 2y + 4z = O + «—
x + y + z = -5 -5y-z = k+10 2z = 5 – k

Discussão:
Para qualquer valor de k, o sistema é possível e de­terminado.

• Discussão:
(1a) Se m2 + m – 2 = O, isto é, m = -2 ou m = 1, a última equação resulta. O.z = 0 Logo, o sistema é possível e indeterminado.
(2a) Se m2 + m – 2 * O, isto é, m*-2em*1,a última equação resulta O . z = k    (k * 0) Logo, o sistema é impossível.

Observação:
Para resolvermos ou discutirmos um sistema linear, existe um método alternativo conhecido como método de Castilho. Observe a seguir.

Considere o sistema:
Jax + by = m [cx + dy = n em que a, b, c, d, m e n são números reais quaisquer. Para eliminarmos a variável x podemos multiplicar a pri­meira equação por -c, e a segunda por a. Assim obtemos: -acx – bcy = -me acx + ady = an, somando, obtemos: (ad – bc). y = an – me.

Observe que o coeficiente de y é o valor do determi­nante da matriz, em que a primeira coluna são os coeficien­tes de x e a segunda coluna são os coeficientes de y, enquanto o termo independente é o valor do determinan­te, em que a primeira coluna são os coeficientes de x e a segunda coluna são os termos independentes das equa­ções dadas.

Com este método, transformamos cada duas equa­ções dadas em uma equação equivalente, eliminando a primeira variável. No caso de termos uma terceira equação, aplicamos o método com a terceira e a primeira ou a terceira e a se­gunda equação, obtendo a segunda equação do novo sistema.