Divisibilidade: múltiplos e divisores

Neste texto iremos tratar da divisibilidade dos números, especialmente ao que se refere aos divisores e múltiplos. É importante dizer que quando abordamos este assunto, estamos em um campo chamado de pré-álgebra. Você deve estar se perguntando o que é isto, não é mesmo? Como o próprio nome nos indica, pré-álgebra é aquilo que vem antes da álgebra propriamente dita.

Isto significa que para o estudo da álgebra, é necessário que haja conhecimentos prévios e básicos sobre alguns conceitos, tais como fatoração, aritmética de números naturais, propriedades de operações como a distribuição, outros tipos de números, como os negativos, os fracionários e os decimais, dentre outros conceitos.

Feito esse parênteses, podemos partir com mais segurança para o assunto que realmente interessa aqui: a divisibilidade. Todos nós sabemos que a divisão é uma das quatro operações básicas. Ela consiste na divisão de um número por outro número determinado para chegar a um resultado, também chamado de quociente, igualmente determinado. Vamos utilizar um exemplo simples para ilustra a operação: 10 quando é divido por 2 resulta em 5 ou, usando termos técnicos, quando o dividendo 10 é dividido pelo divisor 2 o quociente dessa operação é igual a 5. Muito fácil, não?

Quando trabalhamos com divisibilidade, há dois conceitos que precisamos ter muito claros em nossa mente, já que são fundamentais para o assunto em pauta: os múltiplos e os divisores. Vamos analisar cada um deles com mais calma.

Divisores

Pelo o que foi dito acima em nosso exemplo, sabemos que um divisor é o número pelo qual o dividendo é divido. O interessante da divisão utilizada como exemplo é que o resto da divisão é igual a 0. Quando este fato ocorre, a divisão é chamada de exata. Vamos pensar em outro exemplo, como 11 dividido por 2. O quociente dessa divisão continua sendo igual a 5, no entanto o resto é igual a 1, o que nos diz que não trata-se de uma divisão exata. E sempre possível colocar uma vírgula depois do quociente e acrescentar um zero ao resto, que dessa maneira ficaria 10, e dez dividido por 2 é igual a 5, logo o quociente dessa operação seria igual a 5,5. No entanto, mesmo utilizando essa manobra, a divisão ainda não é exata, pois o resultado não é um número integral.

As divisões que não são exatas nos fornecem uma importante pista para pensar os divisores. Dessa maneira, serão divisores de um número determinado SOMENTE aqueles números que tem como resto 0. Uma implicação dessa regra são os divisores dos números primos, pois estes só são divisíveis por 1 e por eles mesmos, como em 2, 7, 11, 37, 71 e assim por diante.

O 0 também é um caso que deve ser levado em conta quando tratamos de divisores, pois ele não é divisor de nenhum número.

Para concluir essa seção dos divisores, voltemos a nosso exemplo, o número 10. Em nosso exemplo ele foi divido por pelo número 2. No entanto, há outros números pelos quais 10 pode ser dividido e o resto da divisão ser 0, formando divisões exatas. Esses números são 1 e 5, com quocientes 10 e 2, respectivamente.

Disso podemos deduzir que os divisores de um número que não seja primo formará um conjunto finito e quanto maior o dividendo, maior será seu respectivo conjunto de divisores, como os que seguem abaixo:

D(10) = {1, 2, 5};
D(12) = {1, 2, 3, 4};
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10}.

Múltiplos

Entender o conceito de múltiplos é uma tarefa fácil agora que já sabemos o que são os chamados divisores. Quando operamos uma divisão, o quociente é tido como um múltiplo, pois quando ele é multiplicado pelo divisor em questão o resultado é igual o dividendo. Parece complicado, mas não é, vamos voltar a nosso exemplo para conseguir entender melhor essa questão. Se o divisor é 2 e o quociente é 5, 5 multiplicado por 2 é igual a 10, mesmo número do dividendo em questão.

Este é um ótimo ponto de partida para entendermos os múltiplos, já que eles são o quociente de um número determinado, multiplicado por um número natural qualquer. Um bom exemplo de múltiplos pode ser encontrado na tabuada, como a do número 9:

M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 91, 99, 108…}

É importante notarmos dois fatores muito interessantes nos conjunto acima: diferente dos divisores, o número 0 sempre fará parte dos conjuntos, já que todo número multiplicado por 0 sempre será igual a 0; e o conjunto formado pelos múltiplos de determinado número sempre serão infinitos, já que a multiplicação se dá em progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido.
Portanto, diferente dos divisores, não importa se os múltiplos são de números primos, se o resultado da divisão não é igual a 0, etc., pois sempre existirão um número infinito de múltiplos para todo e qualquer número.