Encontrando a reta tangente a uma circunferência

Proveniente do grego antigo γεωμετρία, cujo prefixo geo- designa ‘terra’ e o complemento -metria diz respeito à ‘medida’, a geometria é um campo da matemática que se ocupa do estudo das propriedades espaciais, como tamanho, posição relativa e forma de objetos tangíveis e não tangíveis.

A geometria é fundamental para absolutamente tudo no mundo natural e artifical (criado pelo homem). A geometria está em nossos corpos, em plantas, em animais, em nossos livros, em nossos computadores, na arquitetura de diferentes culturas, em nossas mais diversas ciências e a lista continua. E foi justamente por essa onipresença que este campo de estudos da matemática surgiu e foi estudado em diversas culturas milenares, como na Grécia, China e Egito antigos.

Urge destacar que a geometria exerceu e faz parte das bases de diversas ciências: física, notadamente no campo da astronomia, na química orgânica, na biologia, na cartografia (elaboração e estudos de mapas), na engenharia e mesmo na filosofia.

Neste artigo, vamos voltar nossa atenção e esforços para o estudo das circunferências, uma das formas fundamentais da geometria, mais especificamente o estudo de reta tangente a uma circunferência. Vamos a ele.

Premissas básicas1

Antes de partimos para o assunto que realmente interesse, isto é, encontrar a reta tangente a uma circunferência, é necessário antes de mais nada determinar o que é tangente, definida por sua própria denominação, ou seja, tangente é um reta que tangencia o eixo círculo trigonométrico. Ficou difícil? Sem problemas, já que um simples exercício de visualização é capaz de dar um exemplo concreto da tangente.

Vamos imaginar um circunferência dividida igualmente em quatro partes. Para que estas partes sejam idênticas, é necessário traçar uma reta que a divide verticalmente ao meio e outra que a divide igualmente horizontalmente. Na primeira reta temos o eixo dos senos e na segunda temos o eixo dos cosenos. Disso podemos deduzir que a tangente é uma reta que passa perpendicularmente ao raio da circunferência.

Uma premissa básica deste assunto é que existem três posições que dizem respeito a um ponto em relação à circunferência. Para cada posição do ponto, podemos retirar algumas conclusões sobre as tangentes. São elas:

• Quando tem-se um ponto externo à circunferência, é possível traçar duas retas tangentes.
• Já quando tem-se um ponto interno à circunferência, não é possível traçar um reta tangente a este ponto;
• Em caso de ponto pertencente à circunferência, é possível traçar uma e apenas uma reta, pois este ponto é o ponto de tangência;

Esses três premissas nos permitem concluir que para chegarmos a equação da tangente é necessário antes de tudo sabermos a posição relativa do ponto, que depende diretamente da posição do ponto em relação ao centro da circunferência.

Agora que já entendemos como localizar a tangente de uma circunferência e quais as regras que presidem essa localização, vamos partir para a análise de um exemplo concreto, isto é, realizar o caminho, passo a passo, para chegar à equação da tangente.

Equação da tangente 2

Vamos supor que nos deparamos com o seguinte exercício: determine a equação da tangente à circunferência x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 pelo ponto P(-1, 2). A primeira coisa que devemos fazer é anotar os dados postos no enunciado. Assim, sabemos a circunferência e sabemos o ponto. Na sequência, devemos resolver a equação. Assim, temos que:

x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 >>> x² – 2x + 1 + y² + 4y + 4 = -1 + 1 + 4 >>> (x – 1)² + (y + 2)² = 4. Disso podemos deduzir que o Centro (C) é igual a (1, -2) e o raio é igual a 2. Portanto, o número de soluções será dado por CP = P – C = (-1, 2) – (1, -2) = (-2, 4), e agora chegamos ao ponto fundamental, que é descobrir a posição. Temos que d_CP = √((-2)² + 4²) = √20 = 2√5 > r => P externo a circunferência.

Seguindo a premissa básica vista mais acima, sabemos que quando o ponto é externo à circunferência, temos duas retas tangentes, ou seja, duas possíveis soluções para a resolução da equação da tangente. Essas duas retas passam por 1 e -2 e são perpendiculares a CP, logo a equação é dado por: r: y – 2 = m(x + 1) ou r: mx – y + (2 + m) = 0 .

Sabendo que d_Cr = r >>> |(m*1 – (-2) + (2 + m))/ (√(m² + 1))| = 2 >>> |(2m+ 4)/(√(m² + 1))| = 2 >>> (2m+ 4)² = 4*(m² + 1) >>> 4m² + 16m + 16 = 4m² + 4 >>> 16m = -12 => m = -3/4, podemos substituir esses valores em r: mx – y + (2 + m) = 0 >>> r: -3x/4 – y + (2 – 3/4) = 0 >>> r: -3x – 4y + 5 = 0.

Achamos a equação da primeira reta, r: -3x -4y + 5 = 0. Mas lembre-se que são duas retas, e r’ é perpendicular ao eixo x, já que passa pelos pontos P(-1, 2) e P'(-1, -2). Logo, r’: x = -1.