Equações fracionárias


O conceito de frações figura entre os principais conceitos da matemática elementar (aquela que aprendemos na escola). Justamente por isso, é um conceito que se estende durante toda a vida escolar dos alunos. Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, é muito comum o conceito de fração ser ensinado através de gráficos em forma de pizza e outras figuras geométricas. Já nos anos finais do Ensino Fundamental e durante todo o Ensino Médio, o conceito evolui e passe a ser integrado à situações mais complexas, como em equações.

Muitos alunos apresentam dificuldade em matemática. Dificuldade que aumenta ainda mais quando tratamos de frações, pois as operações elementares – soma, subtração, divisão e multiplicação – apresentam peculiaridades quando aplicadas à frações. Por isso, antes de partimos para o funcionamento das frações em equações de primeiro grau, objetivo principal deste texto, vamos fazer uma recapitulação de como as operações básicas se dão em frações, para que, assim, os resultados de nossas equações sejam mais consistentes.

Equações

Operações básicas

Como nosso objetivo aqui são equações fracionárias e não as frações em si, vamos apenas relembrar como são realizadas as operações básicas com frações. Caso você sinta necessidade de estudar este tópico fundamental mais a fundo, há vários artigos disponíveis para te ajudar nesta tarefa.

Adição: operação básica por excelência. Se estamos tratando da soma de frações que possuem o mesmo denominador (número de baixo da fração), basta que somemos os números de cima (numerador) e mantenhamos o denominador. Dessa maneira, a operação 5/3 + 7/3 = 12/3. Quando os denominadores não são iguais, é necessário achar o mínimo múltiplo comum dos denominadores (MMC). Assim, se temos a operação 5/3 + 2/5 e 1/13, precisamos achar o MMC (3, 5, 13). O MMC desses três numeradores será 195. Este resultado deve ser divido pelo denominador e multiplicado pelo numerador em cada uma das frações. No caso da primeira, será 195:3.5 = 325. O resultado é que conseguimos uma equação equivalente à primeira, assim 5/3 = 325/195. O mesmo deve ser feito em todas as outras frações. Estando todos os numeradores iguais, basta efetuar a soma.

Subtração: tudo o que foi dito para a adição vale também para a subtração de frações. Assim, se os denominadores forem iguais (9/8 – 5/8), basta efetuar a subtração entre os numeradores (= 4/8). Se forem diferentes, é necessário também achar o MMC entre os denominadores e realizar os passos descritos acima.

Multiplicação: operação básica mais simples de todas. Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador, independentemente se forem ou não do mesmo valor. Assim, 2/6. 3/2 = 6/12.

Divisão: muito parecida com a regra de três. Por mais estranho que pareça, na verdade o resultado dessa operação básica provém de uma multiplicação. Deve-se inverter as frações, como por exemplo em 1/3 / 2/5 >> 1/3 / 5/2, e realizar a multiplicação em cruz. Portanto, 1/3. 5/2 = 2/15.

Agora que já lembramos como são realizadas as operações fundamentais, podemos partir para o que realmente nos interessa, isto é, as equações fracionárias.

Resolução de equações fracionárias

Apesar do nome assustador, as equações fracionárias são relativamente simples de serem resolvidas. Talvez o fator mais complicado seja o MMC, mas nada que um pouco de treinamento não resolva.

Partindo das premissas elementares elencadas acima, vamos testar nosso conhecimento tentando resolver uma equação fracionária de primeiro grau (se você conseguir resolvê-la, é muito provável que também consiga resolver equações fracionárias de 2° grau). Eis nossa equação: 3x-7/12 + x-1/8 = 2x-3/6. Como em todas as equações, queremos descobrir o valor de x. A primeira coisa que devemos atentar é que há uma adição, e como nenhum dos denominadores são iguais, é necessário que achemos o MMC (12, 8, 6).

Descobrimos, então, que o MMC dos três denominadores é igual 24. Mas não basta substituir os denominadores por 24, porque, se você se lembrar, é necessário dividir o novo numerador pelo antigo. Dessa maneira, 24/12 = 2; 24/8 = 3 e 24/6 = 4. Esses resultados devem ser multiplicados pelos numeradores de suas respectivas frações. Após realizar esses procedimentos, nossa equação ficará da seguinte maneira: 2.(3x-7)/24 + 3.(x-1)/24 = 4.(2x-3)/24.

Com todos os numeradores iguais, podemos anulá-los e resolver a equação, começando pelas distributivas. Portanto, 6x-14+3x-3=8x-12. Deixando os números com incógnitas do lado direito e os números sem do lado esquerdo e aplicando as regras de sinais devidas, teremos 6x+3x-8x=-12+14+3. Como resultado, teremos que x = 5. O mesmo raciocínio utilizado acima vale para equações fracionárias que envolvam subtração. As que envolvem divisão e multiplicação entre termos são mais fáceis de serem resolvidas. Tente resolver algumas e veja como se sai.

Pode não parecer simples à primeira vista, mas, com muito treino, você conseguirá resolver equações fracionárias tanto de primeiro, quanto de segundo grau, independentemente das operações que envolvam. Te desejamos sorte, pois conhecimento você já tem.