Estudo das Funções: Função e Equação Exponencial e Modular


Introdução

Thomas Malthus, no final do século XIX, baseado em dados estatísticos referentes à população dos Estados Unidos de 1643 a 1760, afirmou que as populações cres­cem em progressão geométrica, enquanto a produção de alimentos cresce em progressão aritmética. As restrições impostas para a base são necessárias. Observe o que aconteceria em três situações a seguir, se as restrições não fossem feitas:

Estudo das Funções

1a Situação:
Vamos supor base nula, ou seja, a = 0.
y = ax
Se x < O, não existiria ax Assim, segundo Malthus, a função que descreve o crescimento da produção de alimentos é do 19 grau, en­quanto a função que relaciona o crescimento da popula­ção é exponencial. Mas o que é uma função exponencial? Função Exponencial Observe a definição de função exponencial: Sendo a (a > O e a *1) um número real, denomina-se função exponencial de base a, a função f: IR —»IR*, definida por y = f(x) = a*

2a Situação:
Vamos supor base negativa, ou seja, a < 0. y = ax Se x = 1/2, por exemplo, não existiria ax Exemplo: (-2)2 = V=2 = l 3a Situação: Vamos supor base igual a 1, ou seja, a = 1 y = ax y=1x Y=1 i A função é constante. Gráfico da Função Exponencial O gráfico de uma função exponencial pode ser obtido atribuindo-se valores à variável independente x. A função exponencial definida por y = f (X) = ax com a > O e a * 1 pode representar graficamente uma função crescente ou decrescente. Observe graficamente os dois casos:

a*1 >a 2 =>x.| >x2 (Quanto maior a imagem, maior o valor de x)
Existem duas possibilidades:
a > 1: função crescente
O < a < 1: função decrescente Exemplos: (1)f(x) = 3* A função é crescente, pois a > 1
(2) f(x) = (0,2)x
A função é decrescente, pois O < a < 1 Inequações Exponenciais A resolução de inequações exponenciais é feita con­forme o crescimento ou decrescimento das correspon­dentes funções exponenciais. Módulo O módulo ou o valor absoluto de um número real x qualquer é representado por Ixl. Assim, é importante você observar que, assim como acontece com a distância, o módulo de um número real nunca é negativo, ou seja, é sempre positivo ou igual a zero. Existe uma propriedade muito importante de módulo que você precisa conhecer: a igualdade: 1×1 = Vx. As pessoas menos atentas consideram que Vx2 = x para qualquer que seja x e IR, o que não é verdade. Se Vx   = Ixl, então x   = x, sex>0
x   = -x, se x < O A definição de módulo de um número real x tem duas partes: • O módulo de um número real x é igual ao próprio nú­mero x se x for maior ou igual a zero; • O módulo de um número real x é igual ao oposto do número x se x for menor que zero. Geometricamente, o módulo de um número real indi­ca, na reta real, a distância do número ao zero. Função Modular Uma função f: IR -» IR definida por f(x) = Ixl é denominada função modular. O gráfico da função modular é construído, atribuin­do-se valores a x, ou seja:  • 6 unidades: distância do -6 ao 0: 6 unidades 1-61 = 6 • 4 unidades: distância do 4 ao 0: 4 unidades 141 = 4 Embora a função dita modular seja apenas a mencio­nada anteriormente, é importante entendermos que dada uma função qualquer, ao aplicarmos módulo a essa função, a parte do gráfico que é positiva ou nula (imagem) não se altera. O gráfico altera apenas a ima­gem que é negativa, tornando-a positiva. Observe os exemplos: Exemplo 1: Construa os gráficos das funções definidas de IR -> IR por f(x) = x – 1 e f(x) = Ix – 11.
• f (x) = x – 1

Exemplo 2:
Construa os gráficos das funções definidas de IR -> IR por f(x) = x2 – 4 e f(x) = Ix2 – 41.
• f (x) = x2 – 4

Equações Modulares

Uma equação é dita modular quando a incógnita x aparece dentro de módulos.
Exemplos:
(1) I2x-4l = 10
(2) Ix – 11 = 3
(3) lx2l-9. 1×1-10
Como resolvemos uma equação modular?

Uma equação modular pode ser resolvida utilizando-se a definição de módulo ou utilizando-se uma propriedade, ou seja: x, se x > O -x, se x x = 10 ou x = -10
|X|=-1 =^XGlR
Portanto, S = {-10; 10}
Importante: Na resolução de certas equações modulares, deve-se atentar para o fato de que o módulo de um número real é sempre não negativo.

Exemplo 3:
Resolva a equação modular:
13
Resolução:
• Condição:
x + 13>0=»x>-13
Resolvendo:

13
li
2x-11=x + 13 ou 2x-11 =-(x + 13)
x = 24 ou x = -2/3
Como os dois valores satisfazem a condição imposta, temos que S = < 24; Exemplo 4: Resolva a equação modular: Ix2 – 41 = 3x Resolução: Condição: 3x > O => x > O
Resolvendo:
Ix2 – 41 = 3x
x2 – 4 = 3x ou x2 – 4 = -3x

Dado um número real a > O, temos: • Ixl < a <=> -a < x < a • Ixl > a <=> x < -a ou x > a

Observação: Se nas desigualdades acima aparece o sinal de igual, deve-se considerar os valores de a e -a.
Exemplos:
• Ixl < 10 <=>-10<x< 10 • Ixl > 8 <=> x < -8 ou x > 8

Inequações Modulares

Uma inequação modular é qualquer inequação que apresenta a incógnita dentro de um módulo.