Função Seno e Função Cosseno


Substituindo no sistema de coordenadas cartesianas os valores obtidos na tabela, obtém-se o esboço do grá­fico da função y = sen x, chamado de senóide.
Anteriormente, você iniciou o estudo básico de seno e cosseno, o que lhe facilitará a compreensão das funções trigonométricas que serão abordadas a partir desta aula.

As funções trigonométricas exercem um papel im­portantíssimo quando aplicadas a diversas situações, nos mais variados segmentos, em decorrência de uma carac­terística que apresentam: a repetição de seus valores de “tempo em tempo”, ou seja, de “período em período”, sendo por isso chamadas de periódicas.

Função Seno

A ideia de função é a de que um valor depende de outro. No caso, o valor do y depende do valor do x, então y está em função de x, o que se representa por y = f(x). Para iniciar o estudo das funções seno e cosseno, vale lembrar alguns aspectos do que já foi visto:

• seno de um ângulo é a projeção do ponto marca­ do por este ângulo sobre a circunferência trigo­nométrica (raio unitário) no eixo vertical (eixo
das ordenadas y);
• cosseno de um ângulo é a projeção do ponto mar­cado por este ângulo sobre a circunferência tri­gonométrica (raio unitário) no eixo horizontal
(eixo das abscissas x).

Função seno

De uma forma geral, é possível representar a função seno por y = a + b • sen (m • x + n), mas para facilitar a compreensão vale recorrer, como exemplo, ao caso mais básico: f: IR-»IR, que se define por y = sen x. Na tabela a seguir, observam-se alguns valores obti­dos para a função no intervalo x e [0,2n].

FUNÇÃO NO INTERVALO x e [0,27i]

Por meio da observação desse gráfico, é possível concluir que

• o gráfico não está limitado aos valores da tabela, ou seja, ele continua à esquerda de x = O e à direita de x = 2n, portanto se conclui que o domínio é dado pelo conjunto dos números reais (D = IR);
• os valores extremos obtidos no eixo y são -lei, portanto se conclui que sua imagem é dada pelo conjunto Im = {y e IR /-l ^ y <, 1} ou Im = [-1,1]; o intervalo de repetição (período) é de 2n rad, ou seja: p = 2n rad; • a função seno é ímpar, pois f(-x) = -f(x), e seu gráfico é simétrico em relação à origem. Função cosseno De uma forma geral, é possível representar a fun­ção cosseno por y = a + b • cos (m • x + n), mas para que a compreensão seja melhor, vale recorrer, como exemplo, ao caso mais básico: f: IR—>IR, que se define por y = cos x. Na tabela a seguir, observam-se alguns valores obti­dos para a função no intervalo x e [0,2 tc].

FUNÇÃO NO INTERVALO x e [0,2n]

Substituindo no sistema de coordenadas cartesianas os valores obtidos na tabela, obtém-se o esboço do grá­fico da função y = cos x, chamado de cossenóide. Por meio da observação desse gráfico, é possível concluir que:

• o gráfico não está limitado aos valores da tabe­la, ou seja, ele continua à esquerda de x = O e à direita de x = 2n, portanto se conclui que o do­mínio é dado pelo conjunto dos números reais (D = E);
• os valores extremos obtidos no eixo y são -l e l, portanto se conclui que sua imagem é dada pelo conjunto Im = {y e E /-l £ y £ 1} ou Im = [-1, 11;
• o intervalo de repetição (período) é de 2n rad, ou seja: p = 2n rad;
• a função cosseno é par, pois f(-x) = f(x) e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo das orde­nadas (y).

Análise de gráficos senoidais e cossenoidais

Pode-se generalizar a interpretação das funções do tipo y = a + b sen (m x + n) e y = a + b cos (m x + n), considerando alguns aspectos que você verá na sequência.

Domínio

Será o conjunto dos reais, a menos que seja imposta uma condição para a função. Por exemplo: “dada a função f: IR* -»IR, definida por…”. Neste caso, o domínio será IR*.

Período

O período pode ser obtido Por exemplo: o período da função f: IR—>IR definida por f(x) = y = l + 3 • cos (2x).

Na grande maioria dos casos n = O, o que facilita a in­terpretação do valor de a, que será a ordenada do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas (y). Para facilitar, pode-se dizer que se for “dividido” o gráfico da função “ao meio” por uma linha horizontal, o valor marcado por essa linha sobre o eixo y será igual ao valor de a.

Variável b

O valor de b é responsável pela amplitude do gráfico, ou seja, quanto o gráfico irá se deslocar na vertical, aci­ma (+|b|) e abaixo (-|b|) de a. Quando n = O, diz-se que se o gráfico “chegar” ao eixo y de forma crescente (su­bindo para a direita), o valor de b será positivo, ao passo que se o gráfico “chegar” ao eixo y de forma decrescente (descendo para a direita) o valor de b será negativo.

Variável m

O valor de m altera o período da função. Lembre-se:
271
P = — • m

Variável n

O valor de n fará com que o gráfico se desloque horizontalmente.

Seno ou cosseno?

Quando n = O, se o gráfico intercepta o eixo das or­denadas no ponto de valor máximo ou mínimo, trata-se de uma função cosseno, ao passo que se o gráfico inter­cepta o eixo das ordenadas ao meio trata-se de uma fun­ção seno. Uma forma prática de se obter a imagem consiste em substituir sen (m • x + n) ou cos (m • x + n) por -l e por 1.
Por exemplo: a imagem da função f: IR—»IR definida por f(x) = y = l + 3 • cos (2x) é dada por
Im = [a – b, a + b] – [l – 3,1 + 3] – [-2, 4]
Ou então
cos (2x) = -l -» y = l + 3 • (-1) -» y = -2
cos (2x) = l-»y=l+3-l-»y = 4