Funções Injetora, Sobrejetora, e Inversa


Introdução

Até esta aula vimos que a variável dependente y é uma função da variável independente x. Em muitas si­tuações, será possível estabelecermos a partir de y = f(x) a função x = g(y). Quando isso ocorrer, diremos que a função g é a função inversa da função f. Você verá que não é qualquer função que admitirá função inversa. Antes, é necessário que algumas condições sejam estabelecidas.

Funções Injetora

Função Injetora

Observe o gráfico da função f: IR -> IR abaixo. Valores diferentes de x estão correspondendo a va­lores diferentes de y, ou seja, quando isso ocorre, a função é dita injetora.

Uma função f: A —» B é injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B.O diagrama a seguir representa a função injetora f: A^B. A função f: IR -»[1,00) é sobrejetora. O diagrama a seguir não representa uma função inje­tora f: A -> B o conjunto-imagem é igual ao contradomínio de f.

Função Sobrejetora

Quando estudamos uma função f: A -> B, três con­juntos estão relacionados. A saber:
(1)       o conjunto A é o domínio da função, formado pe­los valores da variável independente x;
(2)       o conjunto B é o contradomínio da função;
(3)       o conjunto lm(f), formado pelos valores de y tais que y = f (x).

Função Bijetora e Função Inversa

Uma função f: A -> B é bijetora. se ela for, simulta-neamente injetora e sobrejetora. Quando o contradomínio da função for igual ao conjunto-imagem, tal função é dita sobrejetora. Uma função f: A -> B é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A: Im (f) = B.

Somente uma função que é bijetora admite função inversa. Isso significa que se y é uma função bijetora de x, y = f (x), então será possível estabelecer a função in­versa, obtendo-se x em função de y.

Vamos ver um exemplo geométrico!

Quando relacionamos as medidas do lado e do perí­metro de um quadrado, é possível estabelecermos duas funções de IR+ -> IR+ bijetoras:
•   A função f definida, por f (x) = 4x, que a cada medida do lado do quadrado associa a medida do perímetro.
•   A função g definida por g(x) = ^, que a cada valor do perímetro do quadrado associa a medida do lado.

Considerando alguns valores possíveis correspon­dentes ao domínio de f, temos: x = 1  => f(1) = 4 x = 2 => f(2) = 8 x = 3 => f(3) = 12 x = 4 => f(4) = 16 x = 5 => f(5) = 20.

Reciprocamente, na função g:
x = 4  => g(4) = 1
x = 8  => g(8) = 2
x =12 => g(12) = 3
x = 16 => g(16) = 4
x = 20 => g(20) = 5
Nesse exemplo, as funções f e g são ditas funções inversas.

Obtenção da Função Inversa

Para encontrar a lei de formação da função inversa de f sendo dada a função f definida por y = f (x). Dada uma função f: A —> B, bijetora, chamaremos de função inversa de f à função g: B -> A tal que se f(a) = b, então g(b) = a, quaisquer que sejam a e A e b g B.

A função inversa de f será denotada (ou represen­tada) por f ~1. Como encontrar a lei de formação da função inversa da função f, bijetora? Agora observe nas duas funções o que ocorre quan­do atribuímos um determinado valor para x.

• Fazendo x = 10 na função f
x = 10 => f(10) = 7. 10-2 = 68
í___________ í

Gráfico da Função Inversa

Para obtermos a lei de formação da inversa de uma função bijetora dada, você viu que devemos trocar as duas variáveis inicialmente, ou seja, x por y e y por x. Como a cada ponto de um plano corresponde um par ordenado e, reciprocamente, a cada par ordenado cor­responde um ponto no plano cartesiano, vamos observar agora o que ocorre quando invertemos as coordenadas de um ponto.

Exemplo: Os pontos A(4; 2) e B(2; 4) têm coordenadas invertidas. Localizando-os no plano cartesiano, é possível perceber que serão simétricos em relação à bissetriz dos quadran­tes ímpares. Como a inversa de uma função é obtida trocando-se as variáveis, podemos concluir: Os gráficos das funções f e f ~1, num mesmo plano cartesiano, são simétricos em relação à reta y = x.

Para você pensar: Qual o resultado de f(f~1(x)) ou de f ~1 (f(x))?