Funções: Introdução ao Estudo de Funções


A noção de função surgiu da necessidade que o ho­mem tem de analisar e entender fenômenos e fatos do mundo. Na Matemática, como em outras ciências, inú­meras vezes ele cria e procura relacionar as coisas entre si. Ao estudar, por exemplo, algum fenômeno da nature­za, ele tenta estabelecer relações entre as grandezas en­volvidas. Assim, surgiram os conceitos de par ordenado e produto cartesiano.

Funções

Par ordenado

O par ordenado é formado por dois elementos,_x e y, em que,x é considerado o l°. elemento (abscissa) e y o 2°. ele­mento (ordenada). Representa-se o par ordenado por (x, y).

Produto cartesiano

O produto cartesiano entre A e B não vazios é o conjunto A x B, cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y), em que o primeiro termo perten­ce a A e o segundo elemento pertence a B. Em símbolos, tem-se:

A x B ={(x, y) / x £ A e y e B}

Exemplo: Dados A = {l, 2} e B = {3, 4, 5}, tem-se A x B = {(l, 3), (l, 4), (l, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} B x A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)} A2 = AxA={(l, 1), (1,2), (2,1), (2, 2)} Ax0=0xA=0

Atenção

Se A e B são conjuntos finitos tais que n(A) = m e n(B) = n, então: n(A * B) =, m • n.

Relação binária

Relação binária entre A e B, não vazios, é qualquer subconjunto R do pro­duto cartesiano A x B. Em símbolos, tem-se: R é uma relação binária de A em B «• R c A x B.

Ideia

No exemplo acima, R = {(1,4), (2, 4), (2, 5)} é uma relação binária de A em B, pois R c A x B.

Observação

O procedimento de associar a cada par orde­nado um único ponto do plano, e vice-versa, carac­teriza uma correspondência biunívoca entre os pon­tos do plano e os pares ordenados de números re­ais. Essa correspondência caracteriza o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (ou sistema car­tesiano ortogonal).

Função

Dados dois conjuntos A e B não vazios, define-se como função f de A em B (f: A —> B) toda relação biná­ria em que a cada elemento corresponde apenas um úni­co elemento y e B.

Atenção

Observações

O nome cartesiano é uma homenagem ao mate­mático e filósofo francês René Descartes (1596-1650), considerado o pai da filosofia moderna. Ele foi autor das obras Discurso sobre o Método, Re­gras para a Direção do Espírito e Meditações sobre Filosofia Primeira.

Cada elemento de A deve estar associado a um único elemento de B. Os valores de x são variáveis e independen­tes, isto é, podem ser escolhidos livremen­te, e os valores de y são dependentes.

Exemplos:

• A relação binária R de A em B, ilustrada pelo diagrama de setas, é uma função de A em B, pois cada x e A tem como correspondente um único y e B. Associa a cada elemento x de A um único elemento y de B.

Atenção

A relação binária R de A em B, ilustrada pelo diagrama de setas, não é uma função de A em B, pois x = 2 e A não tem como correspondente um único y € B.

•       Quando o domínio e o contradomínio de uma função forem conjuntos constituídos de números reais, trata-se de uma função real de variável real.
•       Quando a Junção f for definida apenas pela sen­tença aberta y = f(x), subentende-se que o do­mínio é um conjunto de números reais x cujas imagens pela Junção f são números reais y.
•       Notar que em f: A —> B, definida por y = {(x), tem-se, sempre, que Im(f) c: B.

A relação binária de A em B, ilustrada pelo dia­grama de setas, não é uma função de A em B, pois x = 3 e A não possui um correspondente y e B.
Domínio,  imagem e contradomínio. Para denotar que y está em função de x, mediante uma lei f, escreve-se y = f(x), que se lê: y é uma função f de x. Uma função é caracterizada a partir de seu domí­nio (A), contradomínio (B) e uma lei de formação.

Gráfico de uma função — reconhecimento

Uma relação binária de R em R, representada em um grá­fico, não é função se uma perpendicular ao eixo x cortar o gráfico em dois ou mais pontos, conforme modelo a seguir. Caso o gráfico represente uma função, o domínio será a projeção do desenho no eixo x e a imagem a projeção no eixo y, como o modelo a seguir.

Conforme explicado nas observações, podem-se ob­ter as representações gráficas a seguir.
•     lo caso – Se a > O.