Geometria Analítica e Sistema Cartesiano


A geometria (geo = terra; metria = medida) sur­giu, como o próprio nome diz, da necessidade do ho­mem de efetuar medições de suas terras (comprimento e área), sendo atribuído aos egípcios o início de suas aplicações, pois, por causa das cheias do Rio Nilo, era necessário refazer constantemente as demarcações das terras.

A Geometria Analítica, que é um método da geome­tria, tem a tarefa de transformar um teorema da geometria em um teorema da álgebra, utilizando-se principalmente de equações que representam retas e curvas (circunferên­cia, elipse, hipérbole e parábola) no plano cartesiano (por isso ela também é chamada de geometria cartesiana), por meio dos pontos que as formam. Ela também pode repre­sentar inequações, regiões e superfícies.

Geometria Analítica

Sua origem mais remota está em fixar um ponto por meio de coordenadas convenientes, método utilizado pe­los egípcios e romanos na agrimensura e pelos gregos na confecção de mapas, porém, para que ela chegasse ao que é hoje, foi necessário passar um tempo até que fosse criada a simbologia que conhecemos e utilizamos atualmente.

A maioria dos historiadores atribui aos franceses René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665) a invenção da geometria analítica, por cau­sa de suas contribuições nessa área. Descartes escreveu a obra La Géométrie (que era um dos três apêndices do Discours de Ia Méthode, publicado em 1637) que foi a grande responsável pela difusão dos seus conhecimen­tos. O termo cartesiano vem de Cartesius, que é o nome de Descartes em latim, língua em que eram frequente­mente escritos os textos científicos na época.

Sistema cartesiano ortogonal

Este sistema é composto por dois eixos: um horizontal (x) chamado de eixo das abscissas e um vertical (y) chamado de eixo das ordena­das, perpendiculares entre si em um ponto O, chama­do de origem do sistema, e orientados conforme a fi­gura. O sistema cartesiano ortogonal costuma ser de­signado por xOy.

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos A (xa, yA) e B (xb, yB) do sistema de coordenadas cartesianas, pode-se calcular a distância entre eles aplicando o Teorema de Pitágoras.

•    OP2 é a medida algébrica de yp, chamado de or­denada de P.
• Se  xp > O    e yp > O    então  P é lº quadrante.
• Se  xp < O    e yp > O    então  P e 2º quadrante.
• Se  xp < O    e yp < O    então  P e 3º quadrante. • Se   xp > O    e yp < O    então  P e 4º quadrante.
• Todo ponto sobre o eixo das abscissas será do tipo P (xp, 0).
• Todo ponto sobre o eixo das ordenadas será do tipo P (O, yp).

Bissetrizes dos quadrantes

São as retas que dividem os quadrantes em partes congruentes (iguais).
•    Todo ponto sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares apresenta abscissa e ordenada com mesmo valor, portanto será do tipo P (x, x) ou p (y, y).
•    Todo ponto sobre a bissetriz dos quadrantes pares apresenta abscissa e ordenada com valo­res opostos, portanto será do tipo P (x, -x) ou p (y, -y)

Baricentro de um triângulo

De acordo com a geometria plana, a mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto, e o encontro das medianas é o ponto chamado de baricentro, que divide a mediana em três partes congruentes: uma que vai do baricentro ao vértice e as outras duas que vão do baricentro ao ponto médio do lado do triângulo.

As coordenadas do baricentro G (xG,yG) de um triân­gulo podem ser obtidas por meio da média aritmética dos valores das coordenadas dos vértices do triângulo A (xa, yA) e B (xb, yB) e C (xc, yc).

Ponto médio

As coordenadas do ponto médio M (xm, yM) de um seg­mento AB podem ser obtidas pela média aritmética dos valores das coordenadas dos pontos A (xa, yA) e B (xb, yB).

Exercício resolvido

O baricentro de um triângulo de vértices A (2,1); B (-1, 3) e C (5, -7) é dado por
x, + xd + xr
2-1 + 5
x ^. =
3 3-7
ya + yb + Y c  .
y g = –    ~~^~
G(2, -1)

Área de um triângulo

Dado um triângulo ABC qualquer, de vértices A(xA, yA) e B (xb, yB) e C (xc, yc), como mostrado na figu­ra seguinte, a área de sua superfície é igual à diferença en­tre a área da superfície do retângulo CDEF e as áreas das superfícies dos triângulos CDA, AEB e BFC, ou seja,

Área de um polígono qualquer

A área de um polígono qualquer pode ser calculada em função das coordenadas de seus vértices.

Observação

Primeiramente, deve-se fazer a substituição das coordenadas dos pontos dos vértices no sistema car­tesiano para verificar a sequência de formação do polígono.

Condição de alinhamento de três pontos

Para que três pontos A (xa, yA) e B (xb, yB) e C (xc, yc) estejam alinhados, basta considerar que a área do triângulo formado pelos mesmos seja nula.