Geometria de Posição: Ponto, Reta, Plano e Espaço


Os Elementos, de Euclides, é certamente a obra ma­temática de maior influência no ramo da Geometria de Posição, frequentemente” chamada de Geometria Eucli­diana, mesmo datando de aproximadamente 300 a.C. A obra está dividida em treze livros, sendo os seis primei­ros sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o décimo sobre incomensurá­veis e os três últimos sobre geometria no espaço, princi­palmente. Várias cópias e traduções foram feitas, o que inevitavelmente gerou erros, variações e acréscimos ao original. Contudo, Os Elementos constitui a mais antiga, mais importante e mais influente obra sobre Matemática de todos os tempos. É certo que nem todos os trabalhos contidos em Os Elementos são atribuídos a Euclides, mas foi ele o responsável por sintetizar vários trabalhos da época em uma única obra que, em grande parte, é aceita e utilizada nas escolas até hoje.

Geometria de Posição

Sobre Euclides pouco se sabe, apesar da grandeza de sua obra. Ele passou a ser conhecido como Euclides de Alexandria, por ter sido convidado por Ptolomeu, em 306 a.C., a ensinar Matemática em sua escola, na Ale­xandria. Certa vez, Ptolomeu lhe perguntou se havia um ca­minho mais curto para a geometria que o estudo de Os Elementos, e Euclides respondeu que não havia estrada real para esse ramo da Matemática. Hoje sabe-se que este caminho existe: é a Ifumftrin Analítica.

O russo Nicolai Lobachevsky (1793-1856), em uma exposição, em 1823, contestou o postulado das paralelas de Euclides, dizendo que nunca foi descoberta uma pro­va rigorosa de sua validade e, em 1826, apresentou al­guns teoremas sobre a nova teoria que defendia. Anos depois, G. F. B. Riemann (1826-1866), numa visão mais ampla que a de Lobachevsky, disse ser necessário tratar o estudo dos pontos, das retas e do espaço de forma mais ampla, pois, para ele, o plano é uma superfície de uma esfera e a reta é o círculo máximo sobre a esfera. Esses conceitos contribuíram para o estudo da Teoria da Rela­tividade, ajudando no desenvolvimento da Física.

Entes geométricos primitivos

No capítulo um de Os Elementos são apresentadas as seguintes definições: “um ponto é o que não tem par­te”, “uma reta é um comprimento sem largura” e “uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura”. Esses conceitos foram, mais tarde, desenvolvidos por Pla­tão.
O ponto, a reta e o plano são chamados de entes geométricos primitivos, pois não há conceitos anterio­res que os definam, somente exemplos que dão a ideia do significado de cada um deles. Portanto, são aceitos sem uma definição prévia. A seguir, são apresentados exemplos de cada um dos três entes primitivos e como representá-los.

Ponto

A tinta deixada pela ponta da caneta sobre uma fo­lha de papel ou uma estrela no céu são exemplos da no­ção de ponto, que não apresenta dimensão.
Os pontos são representados por letras maiúsculas do alfabeto latino (A, B, …, P…).

Reta

Um fio esticado ou uma pista de pouso em um aero­porto vista do céu por um passageiro de um avião são exemplos da noção de reta. Uma reta apresenta uma única dimensão, que é o comprimento, e é infinita. Representam-se as retas por letras minúsculas do al­fabeto latino (a, b, …, r, s…). Quando vários pontos pertencem a uma mesma reta, eles são chamados de colineares.

Plano

Uma mesa ou uma quadra de esportes de um ginásio são exemplos da noção de plano, que apresenta duas dimensões: o comprimento e a largura, e é infinito.
Os planos são representados por letras minúsculas do alfabeto grego (a, P, y, etc.). Quando vários pontos pertencem a um mesmo pla­no, eles são chamados de coplanares.

Observação: Não se deve confundir um ente geométrico e sua representação. Os exemplos acima não são pontos nem retas nem planos, apenas os representam.

Espaço

É o conjunto de todos os pontos e nele é estudada a geometria espacial.

Postulados ou axiomas e teoremas

Como foi possível observar nos casos apresentados anteriormente, algumas noções são aceitas a partir de exemplos práticos, e algumas propriedades geométricas foram descobertas de forma prática e possibilitaram, por raciocínio lógico, a obtenção de outras.

As proposições (propriedades, afirmações) utilizadas como fundamentações da geometria são conhecidas como propriedades primitivas ou postulados, ou ainda como axiomas (do grego aksióma, considerado válido ou ade­quado ou considerado auto-evidente) e são aceitos sem demonstrações.

As proposições ou propriedades obtidas a partir dos postulados são conhecidas como teoremas (do grego theôréma, objeto de estudo ou de meditação; conceito especulativo) e são aceitos mediante demonstrações.

Postulados da reta

São os seguintes:
•     por um ponto passam infinitas retas.
• em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

Postulados do plano

São os seguintes:
•     três pontos não colineares (não-alinhados) deter­minam um único plano.
• se uma reta apresenta dois pontos distintos con­tidos num plano, então está contida no plano.
• em um plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.
• dois pontos distintos determinam uma única reta.
• uma reta contida em um plano divide-o em dois semiplanos.
• Dois pontos podem ser coincidentes (um sobre o outro) e, portanto, não determinam uma reta.
•     por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela à reta dada (Postulado de Euclides).
• um plano divide o espaço em dois semi-espaços.

Teoremas do plano

Um plano é determinado por
•         três pontos não colineares (postulado);
•         uma reta e um ponto fora dela (para reduzir ao postulado, considerar dois pontos da reta e um ponto fora dela);
• duas retas concorrentes (para reduzir ao postula­do, considerar o ponto de interseção e um ponto de cada uma delas);

Quando a projeção de uma reta reversa sobre outra formar um ângulo reto (90°) elas são ditas ortogonais. Na figura anterior, rés são ortogonais.

Retas coplanares

• Duas retas são coplanares se ambas estão contidas em um mesmo plano. Elas podem ser concorrentes ou paralelas.

Concorrentes

• Duas retas coplanares são concorrentes se têm um único ponto em comum.
• duas retas paralelas distintas (para reduzir ao postulado, basta considerar dois pontos distintos de uma das retas e um ponto da outra reta).
• Quando duas retas concorrentes formam ângulos re-tos (90°) são chamadas de perpendiculares.

Observação

Duas retas paralelas podem ser coincidentes (uma sobre a outra) e, portanto, não determinam um plano.