Introdução à Geometria Plana: Ângulos, Retas e Teorema de Tales


Na Antiguidade, com a necessidade de efetuar medi­ções de comprimento, área e volume, surgiram situações que fizeram com que os sábios da época desenvolves­sem métodos a ser aplicados às suas necessidades. Por esse motivo considera-se a Geometria como o primeiro segmento da Matemática ao qual o homem se dedicou. Muitos foram os personagens que se destacaram, entre eles Tales de Mileto e Pitágoras de Samos. Acredita-se que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales.

Introdução à Geometria Plana

Ângulos

Define-se como ângulo a região do plano limitada por duas semi-retas de mesma origem.

Muitos dos problemas da Geometria são soluciona­dos com a utilização de triângulos e suas propriedades -entre elas a semelhança de triângulos, princípio atri­buído a Tales de Mileto.

Em uma visita de Tales ao Egito, por volta de 600 a. C., foi-lhe pedido pelo faraó que calculasse a altura de uma pirâmide sem que precisasse subir nela. Tales aten­deu ao pedido da seguinte forma: fincou uma vara no chão, em posição vertical, perto da pirâmide. Ele observou a sombra projetada pelo monumento egípcio e, em seguida, retirou a vara do chão marcando na areia, a partir do pon­to onde ela foi fincada, a medida de seu comprimento.
A seguir, fincou-a novamente no mesmo ponto e aguardou até que a sombra chegasse à extremidade da medida marcada na areia. Assim que a sombra atingiu a marca na areia, pediu a seus auxiliares que medissem o comprimento da sombra da pirâmide a partir do meio do lado da base e acrescentassem, ao valor encontrado, metade da medida do lado da base da pirâmide. O resul­tado obtido era igual à altura da pirâmide.

oc = AÔB = < AOB = ângulo formado pelas semi-retas O A e OB.
O = vértice do ângulo.
OA e OB são os lados do ângulo.

Unidades de medida

As unidades de medida de ângulos são o grau, o radiano e o grado, sendo: 180° = n rad = 200 gr.

Ângulos notáveis

São quatro:
•     Reto – ângulo cuja medida é exatamente 90°.
•     Raso – ângulo que mede exatamente 180C
•     De uma volta – ângulo cuja medida é exatamente 360°.
• Agudo – é o ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°.

Ângulos complementares

Podemos considerar dois ângulos como complementares se o valor soma de suas linhas for 90°. Para calcular o complemento de um ân­gulo, é preciso calcular a diferença entre 90° e a medida do ângulo dado.

0° < a < 90°
•     Obtuso – é o ângulo cuja medida está entre 90C e 180°.
90° < a < 180° Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Podemos considerar ângulos consecutivos como aqueles que têm o mesmo vértice e um lado comum, ao passo que ângulos adja­centes são consecutivos e não apresentam ponto interior comum. a + (3 = 90° ângulo = a => complemento = 90° – a

Ângulos suplementares

Podemos considerar dois ângulos como suplementares se o valor da soma de suas linhas for 180°. Para calcular o suplemento de um ân­gulo, é preciso calcular a diferença entre 180° e a medi­da do ângulo dado.

B
a + p= 180° ângulo = a ==> suplemento = 180° – a

Ângulos replementares

Podemos considerar dois ângulos como replementares se a soma de suas medidas é 360°. Para calcular o replemento de um ângu­lo, é preciso calcular a diferença entre 360° e a medida do ângulo dado.

Consecutivos: AOB e BOC AÔB e AÔC AÔC e BÔC
Adjacentes:       AÔB e BÔC

Atenção

Dois ângulos adjacentes são consecutivos, mas dois ângulos consecutivos não são necessariamente adjacentes.

a + p = 360° ângulo = a => replemento = 360° – a

Exercício resolvido

O dobro do complemento de um ângulo somado ao dobro de seu suplemento é igual ao replemento deste. Portanto, o ângulo vale
2 • (90° – x) + 2 • (180° – x) – (360° – x) 180° – 2x + 360° – 2x = 360° – x 3x = 180° x = 60°

Ângulos opostos pelo vértice (opv)

São aqueles em que as semi-retas formadoras dos la­dos de um são opostas às semi-retas formadoras dos la­dos do outro. Ângulos opv são congruentes (apresentam mesma medida). Considerando duas retas rés concorrentes e O como o ponto de intersecção, então O é o vértice co­mum aos quatro ângulos que se formam, sendo a e P ângulos opostos pelo vértice, assim como y e 9 também o são.
•         a e b, y e d são alternos externos.
•         a soma de um ângulo agudo (P, por exemplo) com um obtuso (y) vale 180°, portanto eles se­rão suplementares.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por urna transversal

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam oito ângulos, sendo quatro deles agudos e congruentes entre si — os outros quatro serão obtusos e congruentes entre si.

x + 5x = 120°
x = 20° 5x + y = 180°
y = 80°

Retas

As retas fazem parte do chamado grupo de entes geométricos primitivos, portanto não há um conceito para elas. Porém, é possível entender sua existência recorren­do a exemplos. É importante saber que uma reta tem uma única dimensão, que é o seu comprimento, e ela é infinita. Representam-se as retas por letras minúscu­las do alfabeto. Um ponto divide uma reta em duas semi-retas. Uma semi-reta tem início, mas não tem fim. Ela ini­cia no ponto P e é infinita nos dois sentidos.

a- p = a = b
j = e = c = d
aea, Peb, yec, 0ed são correspondentes. 0 e a, P e c são colaterais internos. a e d, y e b são colaterais externos. 0 e c, P e a são alternos internos.

Dois pontos determinam, sobre uma reta, um seg­mento de reta. Um segmento de reta tem início e fim. Ele inicia no ponto A e termina no ponto B – ou o contrário.

Teorema de Tales

Duas retas transversais determinam segmentos sobre um feixe de retas paralelas. Portanto, dois ou mais segmentos de uma delas são proporcionais aos correspondentes seg­mentos da outra.

r // s //1 // u

Convexo – tomando-se um par de pontos qual­quer interior ao polígono, se todo segmento de reta formado por eles for interior ao polígono, este será dito convexo.

Classificação quanto ao número de lados

Quanto ao número de lados, assim podem ser classi­ficados os principais polígonos:

Polígonos

Dados n pontos (n > 3) distintos do plano, sem que três pontos consecutivos sejam colineares, diz-se que a união dos n segmentos com extremidade em dois pontos consecutivos determina, no plano, um polígono. Conheça a seguir os tipos de polígonos.

• Côncavo – tomando-se um par de pontos qual­quer interior ao polígono, se houver a possibi­lidade de parte do segmento de reta formado por eles ser exterior ao polígono, este será dito côncavo.

Observação

Em um polígono, o número de vértices é igual ao número de lados, que por sua vez é igual ao nú­mero de ângulos internos e igual ao número de ân­gulos externos. Vale lembrar que um polígono é dito regular quando apresenta todos os lados e todos os ângu­los com mesma medida.

Perímetro

Perímetro de um polígono é o valor obtido pela soma dos comprimentos das medidas de seus lados, o que pode ser representado por 2p. Consequentemente, o semipe-rímetro (metade do perímetro) é representado por p.

Diagonais

Diagonal é todo segmento de reta determinado pela união de dois vértices não consecutivos do polígono.

Soma dos ângulos

Há duas maneiras de se realizar a soma: para ângu­los internos e para ângulos externos.

Internos

Dividindo-se o polígono em triângulos, a partir de um mesmo vértice, percebe-se que a soma dos ângulos internos é igual ao número de triângulos multiplicado por 180° (valor da soma dos ângulos internos de um tri­ângulo). Como consequência deste raciocínio: S.= 180° • (n-2).

Externos

A soma dos ângulos externos de um polígono vale sempre 360°. A soma de um ângulo interno com um ângulo externo vale sempre 180° (suplementares). Quando o polígono é regular, obtém-se o valor de um ângulo interno pela divisão da soma dos ângulos internos pelo número de lados. Quando o polígono é regular, obtém-se o valor de um ângulo externo pela divisão da soma dos ângulos externos pelo número de lados: 360C.

Note que o número de diagonais que se originam em cada um dos vértices é o mesmo. Para calcular o número de diagonais de um polígo­no, basta observar que a união de dois vértices quais­quer não consecutivos (lembre-se de que o número de vértices é igual ao número de lados), em qualquer or­dem, dá origem a uma mesma diagonal. Isto, pela análi­se combinatória, caracteriza um agrupamento que pode ser calculado por combinações. No entanto, é preciso atentar ao detalhe de que as combinações dos n vértices, tomados dois a dois, oferecem todas as possibilidades, inclusive os lados do polígono, necessitando portanto que estes sejam desconsiderados: