Logaritmos: Definição, Sistemas, Mudanças de Base e Equação Logarítmica


Logaritmos – um pouco da história

A invenção dos logaritmos deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numé­rico e pela trigonometria. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descripíio, na qual explicou como se utilizam os logaritmos, mas não relatou o processo como chegou a eles. Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631) visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A ideia agradou Napier e eles resolveram elaborar as tábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier, Briggs concluiu o trabalho.

Logaritmos

Definição de logaritmos

Sendo N e a números reais e positivos, com a ^ l, denomina-se logaritmo de N na base a o expoente ao qual se deve elevar a base a para que a potência alcançada seja igual a N, isto é logaN = x o ax = N.
Em que:
•         a é base do logaritmo;
•         x é o logaritmo;
•         N é o logaritmando.

Consequências da definição

Considerando a definição de logaritmos e suas con­dições de existência, conclui-se que:
•         logal = O —» o logaritmo de l é zero;
•         logaa = l —> o logaritmo da própria base é l;
•         logaan= n —> o logaritmo de uma potência da base é o expoente;
•         alogab = b —> a potência da base a e expoente log b é igual a b.

Sistemas de logaritmos

O conjunto dos logaritmos de todos os números po­sitivos, em certa base a (O < a ^ 1), denomina-se sistema de logaritmos de base a. Destacam-se, pelo fato de se­rem os mais utilizados em matemática, os dois sistemas de logaritmos apresentados a seguir.
•         Sistema de logaritmos decimais: é o sistema de base 10. Representação: log,0x ou log x (lê-se: logaritmo decimal de x).
•         Sistema de logaritmos neperianos: é o sistema de base e (e = 2,718…, número irracional). Re­presentação: logex ou In x (lê-se: logaritmo ne-
periano de x).

Propriedades operatórias dos logaritmos

•     Logaritmos do produto: O logaritmo de um produto de dois ou mais nú­meros reais e positivos em uma base a (O < a ^ 1) é a soma dos logaritmos que compõem o produto, portanto: loga(A • B) = logaA + logaB • Logaritmos do quociente: O logaritmo de um quociente de dois números reais e positivos em uma base a é a diferença dos logaritmos que compõem o quociente, portanto: •     Logaritmos da potência: O logaritmo de uma potência de base real e posi­tiva numa base a é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, portanto: logaAn = m logaA. Mudança de base Em algumas questões, pode existir um logaritmo que apresenta uma base não adequada para a resolução da questão. Por isso, há necessidade de mudar a base do sistema de logaritmos, ou seja, conhece-se o logaritmo de N (N > 0) na base a (O 0) numa base b (O < b * 1). Observação Para a aplicação das propriedades operatórias, as bases dos logaritmos devem ser as mesmas. Co-logaritmo O co-logaritmo de um número positivo numa base positiva e diferente de um é o oposto do correspondente logaritmo na mesma base. cologa N = – loga N = loga — Aplicando a definição: a.     x = colog216 => x = -Iog216
b.     x = colog2 — => x = -Iog2 2~-

Equações logarítmicas

Chama-se de equação logarítmica toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no loga-ritmando, na base ou em ambos. São resolvidas aplican­do-se as propriedades dos logaritmos e verificando as condições de existência. Assim, procura-se escrever to­dos os logaritmos numa mesma base e usa-se a condição a seguir.

log x = log v=>x = y