Matriz Identidade


Definição de Matriz

Para explicarmos o que é matriz identidade, primeiro é importante conceituarmos matriz de uma forma geral e a influência dela em nosso dia a dia, tanto em hábitos tão comuns, quanto em áreas relevantes como a física, a economia, a administração, a computação, a engenharia e a própria matemática (usada para resolver equações de sistemas lineares na álgebra). Quer ter um exemplo mais claro e concreto? As planilhas do computador! Elas são formadas por linhas e colunas, da mesma forma que os elementos dispostos em uma matriz, a única diferença é que no caso das planilhas estes elementos são colocados em colchetes.

Nas matrizes, as linhas são representadas pela letra n e são dispostas na ordem horizontal, da esquerda para a direita, enquanto que as colunas são representadas pela letra m e organizadas na ordem vertical, de cima para baixo. Ao resolvermos uma solução matricial é justamente desta forma que os elementos devem ser calculados.

Matriz

Da mesma forma, as matrizes são caracterizadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. As linhas e as colunas são distinguidas por dois índices. Na seguinte equação: 3×3, temos uma matriz formada por três linhas e três colunas, sendo neste caso caracterizada como matriz quadrada pelo fato do número de linhas serem iguais ao número de colunas.

Histórico

De acordo com registros, a matriz teria surgido entre os séculos XVIII e XIX por meio da Teoria das Formas Quadráticas e era considerada como mero sistema complementar. Ela só passou a ser relativamente considerada como um sistema independente capaz de gerar vários sistemas determinantes a partir do artigo Memoir on the Theory of Matrices, escrito pelo matemático Arthur Cayley em 1858.

Mas foi James Joseph Sylvester, por meio de seu artigo publicado em 1850 na Revista Philosophical Magazine que deu o nome à matriz e que “abriu as portas” para a formulação das teorias das matrizes. Apesar disto, ambos apresentavam certa divergência em suas teorias, pois Cayley já visualizava matriz como um sistema independente, enquanto Sylvester defendia se tratar de apenas mais um sistema complementar.

Classificação das Matrizes

As Matrizes possuem características e propriedades diferentes conforme suas quantidades de linhas e colunas e, como tal, são classificadas das seguintes maneiras:
*Matriz Quadrada (o número de linhas é igual ao número de colunas);
*Matriz Coluna (Com apenas uma coluna);
*Matriz Linha (Com apenas uma linha);
*Matriz Identidade (matriz quadrada cujos elementos na diagonal são iguais a 1 e os outros elementos acima e abaixo desta diagonal são iguais a zero);
*Matriz Nula (todos os elementos são iguais à zero);
*Matriz Diagonal (Matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não e os elementos acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero também);
*Matriz Triangular (quando os elementos acima OU abaixo da diagonal principal são iguais à zero)

Como mencionado, anteriormente, este texto se propõe a explicar de maneira detalhada e clara o que é Matriz Identidade, como ela deve ser calculada e qual sua utilidade no dia a dia.

Matriz Identidade

Matriz Identidade é uma matriz quadrada (linhas e colunas iguais) cuja diagonal principal é formada pelo número 1 e os demais elementos são iguais a zero. Como o próprio nome indica, é chamada de matriz identidade porque toda matriz que for multiplicada pela matriz identidade terá como resultado a própria matriz. Por isso, tem como característica ser o elemento neutro da equação das matrizes.

Assim sendo, em uma equação matricial, toda matriz identidade (In) multiplicada por outra matriz (A) independente da ordem, será igual a própria matriz (A).

Para se referir a este tipo de matriz deve-se escrever In, onde n é a ordem da matriz. Na prática isso funciona da seguinte forma: Ao escrever uma matriz de ordem 2 escreve-se I2, uma matriz de ordem 3 escreve-se I3, uma matriz de ordem 4, escreve-se I4 e assim sucessivamente. Portanto, para sua formulação não é necessário seguir nenhuma regra específica. Da mesma forma como a matriz neutra. Interessante ressaltar também que a ordem determina a quantidade de elementos em uma matriz identidade. Por exemplo, uma matriz de ordem 2 é organizada com dois elementos nas linhas e dois elementos nas colunas, sendo duas linhas e duas colunas.

Equações Matriciais e o seu dia a dia

Agora que você já aprendeu a definição e os principais elementos de matriz, vamos mostrar mais alguns exemplos que mostram na prática o quanto você pode aproveitar as equações matriciais para questões simples no cotidiano. Vamos descobrir juntos qual a classificação em um campeonato de três times de futebol: A, B e C.

Vitória Empate Derrota

Time A: 3 2 1
Time B: 3 3 0
Time C: 3 1 2

O regulamento determina que:

Vitória: 3 pontos
Empate: 1 pontos
Derrota: 0 pontos

Assim sendo, o cálculo da equação matricial deve ser feito multiplicando as duas matrizes:

A: 3 2 1 3 11
B: 3 3 0 X 1= 12
C: 3 1 2 0 10

Conforme a tabela acima indicada, vimos que o time B é vencedor, pois obteve 12 pontos, o time A se classificou em 2º lugar, pois ficou com 11 pontos e o time C ficou em último lugar com 10 pontos.