Matriz Nula


Tratando-se de um assunto bem amplo da matemática, em especial na categoria de álgebra linear, as matrizes existem em diversos tipos e com diferentes nomes, sendo de fundamental importância ter conhecimento sobre cada uma delas. Nesse artigo, de forma específica, vamos tratar da Matriz Nula, já que o conceito desse tipo de matriz é amplamente abordado em operações matemáticas que pedem para encontrar uma matriz que, somada à outra, resulte em uma matriz nula.

Você já sabe como identificar uma Matriz Nula? Vamos ver quais são as peculiaridades desse tipo de matriz, já que existem, também, outros modelos, como: Matriz Linhas, Matriz Coluna, Matriz Quadrada, Matriz Diagonal, Matriz Identidade, Matriz Oposta e Matrizes Iguais. Acompanhe abaixo todas as informações sobre o assunto.

Matriz

O que é uma Matriz Nula?

Primeiramente, vamos ao conceito desse tipo de matriz. Uma Matriz Nula é uma matriz na qual todos os seus elementos (linhas e colunas) são iguais a zero.

Portanto, são exemplos de Matriz Nula:

[0
0
0]

[0 0 0
0 0 0
0 0 0]

[0 0
0 0
0 0]3×2

A2 = [0 0
0 0]

Basicamente, matriz nula é qualquer matriz na qual todos os seus elementos possuem valor de 0. Ou seja, esse tipo de matriz pode ser representado por 0mxn. Essa, inclusive, é uma notação muito utilizada pelos livros de matemática para representar a Matriz Nula.

Assim, sendo, acompanhe abaixo a representação de uma Matriz nula genérica:

Matriz m por n

aij
n colunas j
m linhas ————->
| [0 0 0 … 0
| 0 0 0 … 0
i | : : : . :
| . . . . .
| 0 0 0 … 0]
v

Note que todos os elementos são nulos, o que dá origem ao nome da matriz. O assunto pode parecer simples, no entanto, muita gente ainda se bate no momento de utilizá-las nas operações aritméticas que envolvem matrizes. Agora que você já aprendeu sobre o conceito de Matriz Nula e também a identificá-las, vamos seguir com os estudos abordando outro assunto essencial: a soma de matrizes que resulta em uma matriz nula.

Operações que envolvem Matriz Nula

Como dito no início do artigo, a importância em estudar a matriz nula está principalmente no fato de ela ser cobrada, seja em exames ou em provas, em exercícios que pedem a soma ou multiplicação de uma matriz nula com outra matriz qualquer.

Na linguagem matemática, a Matriz Nula é representada por O, enquanto a outra matriz quaisquer pode ser representada por A. Logo:

A + O = A

O + A = A

Com isso, verificamos que a soma de uma matriz nula com outra matriz de mesma ordem, é sempre igual a A.

Porém, quando o assunto é a multiplicação de uma matriz nula (O), com m linhas e n colunas, por uma matriz qualquer (A), com n linhas e p colunas, o resultado será sempre uma Matriz Nula de m linhas e p colunas. Veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1

[0 0 0 [-5 3 [0 0
0 0 0] x 8 2 = 0 0]
9 1]

O2x3 A3x2 O2x2

Exemplo 2

[1 2 3 [0 0 [0 0
4 5 6 x 0 0 = 0 0
7 8 9 0 0] 0 0
0 1 2] 0 0]

A4x3 O3x2 O4x2

Exemplo 3

[0 0 [2 4 [0 0
0 0] x 6 8 = 0 0]
1 5]

O2x2 A3x2 O2x2

Assim, comprovamos que: Omxn x Anxp = Omxp

Outros tipos de Matriz

Agora que você já aprendeu tudo sobre Matrizes Nulas e sobre como utilizá-las em cálculos de soma e também em cálculos de multiplicação, recorde de maneira rápida e simples os outros tipos de Matriz que existem na Matemática. Veja abaixo:

Matriz Linha

São denominadas de Matriz Linha as matrizes que possuem apenas uma linha, independentemente do número de colunas que esta possui.

Exemplo:

[4 2 5 7]1×4

Matriz Coluna

Da mesma forma que a Matriz Linha, a Matriz Coluna trata-se de matrizes que apresentam apenas uma coluna, independentemente do número de linhas que ela possui.

Exemplo:

[4
2
5
7]4×1

Matriz quadrada

São denominadas de matrizes quadradas as matrizes que apresentam o mesmo número de linhas e colunas. Além disso, esse tipo de matriz apresenta uma diagonal primária* e uma diagonal secundária**.

Exemplo:

[3 7 8 9
2 -1 5 1
9 3 -2 4
4 -3 1 7]4×4

*Diagonal primária = corte à direita => 3
-1
-2
7

**Diagonal secundária = corte à esquerda => 9
5
3
4

Matriz Diagonal

Para ser uma matriz diagonal, obrigatoriamente a matriz é quadrada. Além disso, é preciso que todos os elementos que NÃO formam a diagonal sejam iguais a zero. Os elementos da diagonal principal (ou primária), por sua vez, não precisam ser igual a zero.

Exemplos:

[1 0 0
0 2 0
0 0 0]3×3

[0 0
0 0]2×2