Matrizes: Transposta, Simétrica e Inversa


Para se determinar a matriz inversa, a matriz dada deve ser do tipo quadrada e ter determinante diferente de zero. As operações com matrizes, às vezes inversas, ser­vem para “mascarar” ou “camuflar” eventuais segredos. Esse tipo de situação foi utilizado em épocas de guerra para enviar uma mensagem cifrada, de modo que, se des­coberta por pessoas que não fizessem parte do plano, não fosse possível decifrá-la.

Matrizes

O exemplo a seguir foi apresentado em questão do vestibular da UEL-PR. Uma das formas de se enviar uma mensagem secre­ta é por meio de códigos matemáticos, de acordo com os seguintes passos:

1.              Tanto o destinatário quanto o remetente têm uma matriz chave C;
2.              O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, em que M é a matriz-mensagem a ser decodificada;
3.              Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: l = a, 2 = b, 3 = c, …, 23 = z;
4.              Considere-se o alfabeto com 23 letras, excluin­do-se as letras k, w e y;
5.              O número zero corresponde ao ponto de excla­mação;

Observe que, no caso, a mensagem só pode decifra­da por meio das operações matriciais. Em cursos das áreas de exatas e tecnologia, os estu­dos de matrizes fazem parte do programa de álgebra li­near. Além de matrizes, são estudados também os deter­minantes e os sistemas de equações lineares.

Matriz transposta

Denomina-se matriz transposta de A, e representa-se por A’, a matriz que tem ordenadamente as colunas iguais às linhas de A.

Propriedades da matriz transposta

Sejam A e B matrizes conformes para a multiplica­ção e adição, e K um número real.

la   propriedade: (A + B)1 = A1 + B1
2a   propriedade: (KA)1 = K • A’ número real
3a   propriedade: (A1)’ = A
4a   propriedade: (AB)’ = (BA)1 note-se a inversão

Como A é de ordem 2, então A~’ é também de ordem 2.

Matriz simétrica

Denomina-se matriz simétrica toda matriz quadra­da A, de ordem n, tal que A1 = A. Exemplo:

Matriz inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma matriz B, tal que AB = BA = I . Com uma matriz inversível de nome A, denomina-se inversa de A aquela matriz A~’ (que pode ser considerada única), tal que:
A • A-1 = A-1 • A = I

Propriedades da matriz inversa

Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Então:
• (A-1)”1 = A
• (A”1)1 = (A’)-1
• (AB)’1 = B”1 • A”1 -> note a inversão!
• A inversa de uma matriz, se existir, é única.

Sendo que In é a matriz unidade de ordem n.

—>• determinante de A

Se det A = O, então A~’ não existe e, nesse caso, a matriz A é chamada de singular.

Como det A = (-1) • (-4) – (2) • (2) = O, então A’1 não existe, isto é, A é matriz singular.

Para resolver a questão proposta no início desta aula, é preciso efetuar o produto das matrizes e, assim, chega-se ao resultado final e descobre-se a mensagem secreta: BOA SORTE.