Máximo Divisor Comum (MDC)


Uma das lições mais importante na matemática é o máximo divisor comum. Trata-se do máximo divisor comum de dois ou de mais números:

Máximo Divisor Comum (MDC)

M = maior
D = que divide com resultado exato, ou seja, sem resto.
C = simultaneamente

É o maior valor numérico inteiro o qual divide todos os números em uma sequência. O divisor existe em números naturais, ou seja, ao dividir um valor X por Y, o resto deverá ser zero. Dessa maneira é possível concluir que Y é divisor de X:
8 : 2 é igual a quatro e o resto é 0.
25: 5 é igual a cinco e o resto é 0.
18: 3 é igual a seis e o resto é 0.

Logo quatro, cinco e seis são divisores de oito, 25 e 18, respectivamente.
Agora acompanhe exemplo de divisores:
15: 1, 3, 5, 15.
32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Logo o máximo divisor comum de dois números ou mais será sempre o maior valor comum entre eles:

MDC (18, 24, 54)
Para isso é preciso definir os divisores de cada número:
18 = 1, 2, 3, 6, 9, 12.
24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 12 e 24.
54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27 e 54.

Logo o maior divisor comum entre esses três valores é o 6. Uma forma fácil de realizar esse processo de encontrar do máximo divisor comum é da seguinte maneira: escreve-se os dois números separados com um traço vertical, logo se comparam os números. Embaixo do maior basta colocar a diferença entre os dois:
MDC (12, 36)
12 36 | 2
6 18 | 2
3 9 | 2
1 3 | 3
1 1 |
Os números do lado direito do traço estão separando os dois valores do lado esquerdo do traço simultaneamente. Logo, multiplicando todos os valores encontra-se o máximo divisor comum: 2 . 2 . 3 = 12

Torna-se muito mais fácil usar esse processo a fim de chegar no MDC mais rapidamente. A decomposição pode ser feita com diversos números juntos.

Sucessivas divisões

Outra forma de chegar no MDC entre dois números e por meio de várias divisões. Divide-se o maior pelo menor número e em seguida refazer tal divisão. O número adquirido no valor restante será o divisor novo. Já o número que estava no divisor será o novo dividendo.

O processo ocorre vezes seguidas até chegar no 0. O processo é chamado de algoritmo de Euclides e com ele não é necessário nenhuma fatorização.

Por exemplo: se os números divididos forem 40 e 100. Dividimos 100 por 40, o que origina resto de 20. Logo dividimos o 40 por 20, tendo uma divisão sem resto. Como a última divisão foi 20, então esse é o valor do máximo divisor comum entre 100 e 40.

Agora no MDC de 3 e 4, divide-se 4 por três aonde o resto será um. Já o 3 divididos por 1 dá uma divisão exata, restando 0. Logo o máximo divisor comum entre os números 3 e 4 é um. Dessa maneira eles são primos entre si. O mesmo ocorre com os números 35 e 24. Agora observe os valores 35 e 21: Eles possuem MDC no valor de 7, logo não são primos entre si.

Fatorização para encontrar o MDC

Fatorar é um dos processos usados para obter o MDC. A partir da fatoração, se pegam os fatores iguais a todos os valores e deixam-se os com expoente menor do que o fator analisado apresentar entre todos os valores. Por exemplo, no MDC de 12 e 30. 30 é o mesmo que 5 .

2. 3. Já o doze é igual a 3.2². Logo o MDC de 30 e 12 é 2.3. Esses dois números são fatores em comum aos números bem como o menor expoente. No número 2 existiam expoentes 1 e 2, mas usa-se o menor. Logo se têm 2, e não 2².

Uma propriedade fundamental do MDC é que todo divisor comum de dois ou mais números de valor inteiro é também o divisor de máximo divisor comum desses mesmos valores.

Essas contas não são feitas apenas de maneira isolada para encontrar o MDC. É comum ser pedido esse processo em situações problema mais complexas, envolvendo o máximo divisor comum.

O MDC, como pode ser visto, tem inúmeras formas de ser resolvido. Para aprendê-lo ainda melhor, basta realizar o processo inúmeras vezes e descobrir qual o método se faz com mais facilidade. Não é incomum o processo aparecer em questões de provas e vestibulares, não de maneira isolada, mas inserido em alguma questão mais ampla. Por exemplo, se um gestor que dividir em grupos administradores e engenheiros, e precisa de equipes apenas com administradores e apenas com engenheiros, com o número máximo possível de pessoas. Esse cálculo é possível usando o máximo divisor comum.