Multiplicação de Polinômios

Os polinômios – também conhecidos como função polinomial – são séries de monômios (ou termos algébricos), expressões matemáticas determinadas por apenas um coeficiente, uma variável ou por um expoente natural e que assumem a seguinte forma: a x^{n} (sendo que n = 0, torna-se a constante ‘a’).

A definição de polinômio abrange diversas áreas. Além de ter um papel essencial na álgebra, esse estudo também é importante no estudo da geometria quando a intenção e calcular expressões que possuem valores incógnitos. Ele ainda tem sua importância em outras profissões que têm ligação com a área das ciências exatas, como a engenharia e a computação.

Nesse âmbito, existem os polinômios que possuem apenas um termo (chamados de monômios) e outros que têm dois ou mais termos, caracterizados como binômios, trinômios ou, de forma generalizada, polinômios.

Assim, podemos encontrar polinômios com somente um termo dentro da expressão algébrica, como 2x, y, 4z, 2 e 5, mas também com inúmeros termos, tal qual P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+…+a2 x2+a1 x+a0. Uma das funções polinomiais mais comuns é f:RR definida por: f(x) = a x² + b x + c. Veja abaixo outros exemplos de polinômios:

– 5xy é um monômio, que também pode ser considerado polinômio pois, como já dito antes, estes se dividem em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios).
– 5x + 3 é um polinômio e, ao mesmo tempo, uma expressão algébrica.

A multiplicação de polinômios

Como os polinômios estão mais nesta esfera da matemática, a álgebra – que mescla a utilização de letras, substituindo números qualquer, através de operações aritméticas -, é possível realizar as operações aritméticas nos polinômios: subtração, adição, divisão, multiplicação, radiciação e potenciação.

Efetuar a multiplicação de polinômios (ou seja, uma operação com dois ou mais monômios) é possível de três formas diferentes. Lembrando que, em ocasiões que envolvem cálculos algébricos, é importante aplicar algumas regras nessas operações: propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m; monômio multiplicado por monômio significa o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Confira abaixo as três vertentes que norteiam a multiplicação de polinômios, sendo que em todas elas se aplica a propriedade distributiva, também chamada de lei distributiva da multiplicação e divisão, que determina como se dá a resolução de equações na forma a(b + c).

– Multiplicação de monômio com polinômio

Multiplicando 3x por (5×2 + 3x – 1), temos:

3x . ( 5×2 + 3x – 1) >>> aplicando a propriedade distributiva
3x . 5×2 + 3x . 3x + 3x . (-1)
15×3 + 9×2 – 3x

Portanto: 3x (5×2 + 3x – 1) = 15×3 + 9×2 – 3x

Multiplicando -2×2 por (5x – 1), temos:

-2×2 (5x – 1) >>> aplicando a propriedade distributiva
-2×2 . 5x – 2×2 . (-1)
– 10×3 + 2×2

Portanto: -2×2 (5x – 1) = – 10×3 + 2×2

– Multiplicação de número natural com polinômio

Multiplicando 3 por (2×2 + x + 5), temos:

3 (2×2 + x + 5) >>> aplicando a propriedade distributiva
3 . 2×2 + 3 . x + 3 . 5
6×2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2×2 + x + 5) = 6×2 + 3x + 15.

– Multiplicação de polinômios (polinômio com polinômio)

Multiplicando (3x – 1) por (5×2 + 2), temos:

(3x – 1) . (5×2 + 2) >>> aplicando a propriedade distributiva
3x . 5×2 + 3x . 2 – 1 . 5×2 – 1 . 2
15×3 + 6x – 5×2 – 2

Portanto: (3x – 1) . (5×2 + 2) = 15×3 + 6x – 5×2 – 2

Multiplicando (2×2 + x + 1) por (5x – 2), temos:

(2×2 + x + 1) (5x – 2) >>> aplicando a propriedade distributiva
2×2 . (5x) + 2×2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10×3 – 4×2 + 5×2 – 2x + 5x – 2
10×3+ x2 + 3x – 2

Portanto: (2×2 + x + 1) (5x – 2) = 10×3+ x2 + 3x – 2

O grau de um polinômio

Cada polinômio é nomeado conforme o seu grau, que é identificado como o grau do maior monômio, ou seja, o termo algébrico de grau mais alto – que possui um coeficiente não nulo – é chamado de termo dominante e o coeficiente deste termo é o mesmo do dominante. Assim, o grau de um polinômio não nulo, é o expoente do seu termo dominante.

Com base nisso, seguem algumas observações importantes:

– Um polinômio nulo não tem grau definido porque este não tem um termo dominante. Apenas em estudos mais avançados, o grau de um polinômio nulo pode ser definido;
– Caso o coeficiente do seu termo dominante seja igual a 1, o polinômio será chamado de mônico;
– Um polinômio pode ser ordenado, de forma crescente ou decrescente, segundo as suas potências;
– Se existirem um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será caracterizado como incompleto;
– Se o grau de um polinômio incompleto for ‘n’, o número de termos deste será menor do que n+1;
– Um polinômio será completo apenas quando possuir todas as potências consecutivas, desde o grau mais alto até o termo constante;
– Se o grau de um polinômio completo for ‘n’, o número de termos do mesmo será exatamente n+1.