Números Complexos: Histórico, Operações e Características


Um pouco de história

Os matemáticos gregos, que desempenha­ram importante papel no desenvolvimento da Matemática, resolviam alguns tipos de equa­ções do 2? grau com régua e compasso. A con­quista da Grécia por Roma praticamente aca­bou com o domínio grego da matemática. Com o fim do Império Romano e a ascensão do cris­tianismo, a Europa entrou na Idade Média e o desenvolvimento da Matemática ficou nas mãos dos árabes e hindus.

Os matemáticos hindus que avançaram nas pes­quisas em álgebra, e Bháskara é o nome que imediatamente vem à mente quando se fala de equações do 2º grau. Porém, a fórmula de Bháskara não foi descoberta por ele, mas pelo matemático hindu Sridhara, no século XI. De­pendendo da equação, poderia acontecer que o número A = b2 – 4ac fosse negativo, fato que não perturbava muito os matemáticos da épo­ca. Nesse caso, simplesmente era dito que o problema não tinha solução.

Números Complexos

O interesse pelo estudo da Matemática ressurgiu na Europa, mais especificamente na Itália, no século XVI, no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução de uma equação de terceiro grau, em foi percebido que os números reais não bastavam e as primeiras ideias do surgimento do conjunto dos números complexos.

Números complexos

Dados dois números quaisquer e reais denominados a e b, define-se o número complexo z como sendo z = a + bi, em que a é a parte real e b é a parte imaginária do complexo z. A forma z = a + bi é denominada forma algé­brica do número complexo.

Casos particulares
•         Se a = 0eb*0^z = bi-» imaginário puro
•         Se a eIReb = 0=>z = a— » número real

Operações na forma algébrica

Sendo z,= a + bi e z2 = c + di dois números comple­xos na forma algébrica, tem-se
•    adição e subtração: z, ± z2 = (a ± c) + (b ± d)i
•    multiplicação: i) • (c + di)=>(ac-bd) + (ad + bc)i
• divisão: Zj = a + bi => zi = a – bi

Unidade imaginária

Define-se a unidade imaginária, que é representada por “i”, como a raiz quadrada do número negativo -1. Pode-se es­crever v-l = i. Observação: A divisão é realizada multiplicando-se o nume­rador e o denominador pelo conjugado do denomi­nador.

Exercício resolvido

Sendo z{- 2 + 3i e z2= 3 • 2i dois números comple­xos na forma algébrica, tem-se
a.    z, + z2 = (2 + 3i) + (3 – 2i) = 5 + i
b.   z, – z2 = (2 + 3i) – (3 – 2i) = -l + 5i

Potência de i
/—
Sendo i a unidade imaginária, em que i – v-1, então
•         i°= l
•         i»=i
•         i2=-l
•         i3=i2- i = (-l) • i = -i
•         i4=i2- i2=(-0 ‘ (-1) = l
•         i5=i4-i = (l) • i = i
•         i6= i5 • i = i • i = -l
•         i7= i6- i = (-1) • i = -i

Portanto, para n > 4 e inteiro, temos a seguinte regra prática:
i” = ir, sendo n > 4
r quociente
L-+ resto

Plano de Argand-Gauss

Um número complexo é representado num plano, denominado plano complexo ou então no plano de Argand-Gauss. Para isso, fixa-se um sistema de coordenadas car­tesianas ortogonais em que o complexo z = a + bi pode ser representado por um ponto neste plano. A parte real a é interpretada como abcissa e a parte imaginária b é interpretada como ordenada do ponto P (a, b), também chamado de afixo do número complexo z = a + bi. Portanto, z = a + bi=»z = p (cos 9 + i • sen 0) -> forma trigonométrica. Observação: Módulo de z => \z\ = p =  va~ Argumento de z => tg 6.

Forma exponencial

z = p • ee ‘, em que 0 => argumento (em radianos) e e = 2,71 (base dos logaritmos neperianos).

Operações na forma trigonométrica

Sendo zt = p, (cos 9j + i • sen 9j) e z2 = p2 (cos Ô2 + + i • sen 92) dois números complexos na forma trigono­métrica, tem-se:
• multiplicação: z, • z2 = p, • p2 [008(6, + 02) + i • sen (9, + 92)]
• divisão: ^ = ^  [cos (9, – 92) + i • sen (9, – 92)]
potência: zn = pn [cos (n9t) + i • sen (n9t)]