Números Proporcionais


Divididos em duas classificações (inversamente e diretamente), os números proporcionais são usados em situações que englobam divisões de lucros, prejuízos, situações de sociedade em investimento, entre outras ocasiões de distribuição de capitais. A proporção, então, equivale à igualdade entre duas razões.

Números diretamente proporcionais

Imagine seis números não nulos (u, v, w, x, y, z). Nessa mesma ordem em que estão dispostos, eles se tornam diretamente proporcionais quando a igualdade das suas respectivas razões tem o mesmo valor. Assim, u/v = w/x = y/z.

Veja o que acontece nas sequências numéricas 2, 6, 10 e 1, 3, 5. O quociente de cada termo da primeira sequência pelo correspondente da segunda sequência é sempre o mesmo: 2, que se torna, então, o fator de proporcionalidade.

Proporcionais

2/1 = 2, 6/3 = 2 e 10/5 = 2. Portanto, a sequência 2, 6, 10 é diretamente proporcional à ordem 1, 3, 5.

• Exemplos

– Desvende se as sequências 2, 5, 8, 10 e 6, 15, 24, 30 são diretamente proporcionais.

2/6 = 5/15 = 8/24 = 10/30

2:2/6:2 = 5:5/15:5 = 8:8/24:8 = 10:10/30:10

1/3 = 1/3 = 1/3

Nota-se que realmente há a igualdade entre as razões. Assim, com o fator de proporcionalidade 1/3, podemos classificar as sequências como diretamente proporcionais.

– Neste exercício, o objetivo é um pouco diferente: desvendar os valores de x e y, sendo que são diretamente proporcionais às sequências 6, 8, 16 e 30, x, y.

6/30 = 8/x = 16/y

6/30 = 8/x (aplica-se aqui a regra de três)
6.x = 8.30
6x = 240
x = 240/6
x = 40

6/30 = 16/y (aplica-se aqui, também, a regra de três)
6.y = 30.16
6y = 480
y = 480/6
y = 80

Números inversamente proporcionais

Um número se caracteriza como inversamente proporcional quando o fator de proporcionalidade aparece numa operação que envolve um número pelo inverso do outro.

Imaginando aquela mesma sequência de números não nulos, anteriormente citada (a, b, c e d, e, f), concluímos que: a/1/d = b/1/e = c/1/f.

• Exemplos

– Neste exercício, o objetivo é verificar se as sequências numéricas são inversamente proporcionais (2, 4, 6 e 90, 45, 30).

2/1/90 = 4/1/45 = 6/1/30

2.90 = 4.45 = 6.30
180 = 180 = 180

Com a igualdade já caracterizada, podemos constatar então que são inversamente proporcionais as sequências 2, 4, 6 e 90, 45, 30.

– O intuito do exercício a seguir é o mesmo do anterior: determinar se os números são inversamente proporcionais.

2/1/20 = 4/1/10 = 8/1/5 (conserve aqui o numerador e depois multiplique pelo inverso do denominador)

2.20 = 4.10 = 8.5

40 = 40 = 40

Tendo um fator de proporcionalidade (que neste caso é o número 40), as sequências 2, 4, 8 e 20, 10, 5 são inversamente proporcionais.

• Exemplos de divisão proporcional

– Três amigos decidiram abrir uma locadora de filmes em DVD. João ingressou no negócio com R$ 12 mil, Wellington entrou com a bagatela de R$ 16 mil e Fernando com a quantia de R$ 8 mil. Nos seis primeiros meses do negócio, os sócios tiveram um lucro de R 7,2 mil e dividiram toda essa quantia entre eles três, em partes diretamente proporcionais ao capital que cada um ingressou. Qual o valor que cada um dos sócios recebeu?

Vamos denominar as partes que resultarão da divisão como a, b, c.
Portanto: a (12000) = b (16000) = c (8000) = K (coeficiente de proporcionalidade).

Para calcular, vamos usar a seguinte fórmula: a + b + c = 7200

12000k + 16000k + 8000k = 7200
36000k = 7200
k = 7200 : 36000
k = 0,2

Portanto, o coeficiente de proporcionalidade é 0,2. Esse número, então deverá ser multiplicado por cada um dos sócios para que estes assim recebam a quantia que equivale proporcionalmente aos seus investimentos iniciais.

12000 . 0,2 = R$ 2,4 mil (João)
16000 . 0,2 = R$ 3,2 mil (Wellington)
8000 . 0,2 = R$ 1,6 mil (Fernando)

– Para abrir uma pequena empresa de material escolar, os amigos Josué e Mateus investiram inicialmente um capital de R$ 2,4 mil e R$ 1,6 mil, respectivamente. Dessa forma, a companhia iniciou suas atividades com um capital de R$ 4 mil.

Levando em conta que os lucros seriam divididos proporcionalmente ao investimento inicial de cada um deles, quanto Josué e Mateus receberão num mês cujo lucro foi de R$ 800?

Nesse caso, vamos calcular o coeficiente de proporcionalidade por meio da razão: lucro / capital.

K= 800/4000 = 0,2 (coeficiente de proporcionalidade)

O número deve agora ser multiplicado pelos valores investidos pelos sócios para que estes assim recebam a quantia que equivale proporcionalmente aos seus capitais iniciais.

2400 . 0,2 = R$ 480 (Josué)
1600 . 0,2 = R$ 320 (Mateus)