O número conjugado
O número conjugado é de extrema importância para auxiliar o estudante na realização de cálculos que envolvem divisões de números complexos. Por isso, neste artigo vamos conhecer um pouco mais sobre o número conjugado e suas principais propriedades.
O que são os números conjugados?
Os números conjugados são verdadeiros aliados para a realização de divisões de números complexos. Com a participação deles, tais cálculos se tornam mais simples, facilitados, e permitem melhor compreensão por parte do indivíduo.
Para que isso seja possível, o primeiro passo é compreender a magnitude e a estrutura do número essencial em meio a esse cálculo: o número conjugado.
Um dos principais objetivos do número conjugado é possibilitar a transformação do número complexo do denominador (presente em uma fração) em um número do tipo real (exemplo que veremos mais à frente).
Para obter o conjugado de um número pode ser mais simples do que você imagina. Considere o seguinte exemplo:
Imagine que o número z é um número complexo.
No cálculo z ∈ C, o d deve ser lido como um participante do conjunto dos números complexos. Sendo assim, ele passa a ser escrito de outra forma:
Z = x + yi, ou então, em forma de coordenada z = (x,y).
Obs: o símbolo ∈ significa que o z é um pertencente do conjunto a seguir, ou seja, no caso do exemplo, um elemento do grupo C.
Obs 2: a letra C, por sua vez, é utilizada para representar os números complexos.
Neste caso, z pertence aos números complexos. Continuando:
O conjunto do número z passa a ser representando por uma pequena faixa acima da letra. Para o obtermos, o único passo é trocar o sinal imaginário em sua parte superior. Neste sentido, teremos:
z (com faixa superior) = x – yi. Quando em forma de coordenada, o z ficaria: (x, -y).
O uso dos números conjugados se torna fundamental para a realização de uma série de divisões envolvendo números do grupo C, ou seja, os números complexos.
Se realizarmos a multiplicação entre z.z (sendo este segundo um número conjugado, representado pela faixa na parte superior), um número real sempre será obtido, ou então, um numero do tipo complexo, mas com a sua parte imaginária igual a 0.
E caso você ainda esteja com dúvidas no que se refere à compreensão dos números conjugados, confira a seguir um pouco mais sobre as propriedades deste tipo de número.
As propriedades do número conjugado serão fundamentais para lhe auxiliar na compreensão deste tipo de cálculo principalmente na realização de divisões que envolvem não só os números complexos, como também, os seus respectivos conjugados.
Vamos lá?
As propriedades do número conjugado
Para entender as propriedades dos números conjugados o primeiro passo é compreender que o C (conjunto dos números complexos) é composto por pares ordenados de números reais.
O mais comum exemplo (também já utilizado anteriormente) é:
Z = x +yi.
Neste sentido, cabe destacar que somente x ∈ R, y ∈ r e z ∈ R pertencem ao grupo C dos números complexos.
De todo mundo, qualquer número complexo Z= (x,y) poderá ser escrito do seguinte modo:
Parte real do número: x
Parte imaginária do número: yi
Alguns exemplos são: 1+i; 2 +3i, 5i, 31 e 2=3i.
Considerando a presença de um número complexo, teremos a seguinte conta: Z = x – ui.
O seu conjugado, por sua vez, pode ser representado por z = x – yi (todos com a faixa superior).
Para obter o número conjugado, é preciso trocar o sinal superior da parte imaginária do número, fazendo com que a parte real permaneça a mesma e que as partes imaginárias se tornem assimétricas. Alguns exemplos neste sentido são:
Exemplo 1: Z = 1 + 3i - Z (conjugado) = 1-3i;
Exemplo 2: Z = 2 + 3i- Z (conjugado) = 2 – 3i;
Exemplo 3: Z = -4i - Z (conjugado) = 4i.
Quando | Z | = | Z | (o que pode ser extremamente comum), o módulo do conjugado de um dos números complexos deverá ser o mesmo módulo do número da divisão.
Por outro lado, quando a conta chega a Z . Z = | Z |², isso significa que o resultado de um número complexo é o quadrado do módulo de tal número, chegando a um número real.
Por fim, cabe destacar que as operações realizadas com números conjugados ocorrem a partir da observação de que, toda vez que um número complexo for multiplicado pelo seu conjugado, o resultado será um número real.
Vamos então considerar um pequeno cálculo para melhor compreensão:
(1+ 2i) . (1-2i)
1 – 2 i + 2 i . (2i)²
1² – (2i)²
1+4=5 que pertence ao conjunto dos números reais.
Sendo assim, cabe destacar que o conjugado é sempre usado para a realização de divisões matemáticas entre números complexos. Em contas com denominadores, o numerador e o denominador devem ser multiplicados pelo conjugado do número denominador para chegar ao resultado final da conta.