O teorema de D’Alembert


No artigo de hoje iremos falar sobre o teorema de D’Alembert, assunto considerado de extrema importância para o estudo dos polinômios e binômios.

Antes de qualquer coisa vamos conceituar tal postulado: O teorema de D’Alembert foi criado pelo filósofo, físico e matemático francês Jean le Rond d’Alembert, e, foi pensado para facilitar a divisão de um polinômio por um binômio.

Já conceituado o teorema passemos agora para outras explicações.

Polinômio e binômio: o que é isso?

D’Alembert

Define-se por polinômio uma expressão algébrica constituída de monômios e os chamados “operadores aritméticos”. Grosso modo o monômio é formado por números – leia-se coeficientes – e variáveis em um mesmo produto. É importante ressaltar que por operadores aritméticos entendemos: soma, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

O binômio, por sua vez, é um tipo de “expressão algébrica” formada por dois termos ligados através de sinais, podendo ser positivos (+ = mais), ou, negativos (- = menos).

Voltemos ao teorema

Agora que já vimos todos os conceitos necessários para o estudo do assunto em questão vamos avançar para explicações mais complexas.

Pode-se dizer que o teorema de D’Alembert é considerado um tipo de consequência imediata do teorema do resto, cujo é voltado à divisão polinômio por binômio do tipo x-a. Acompanhe o raciocínio:

O polinômio P(x) será divisível por x-a, somente se, o número “a” for raiz do polinômio P(x), portanto, P(a) deve ser igual a zero (0).

Não entendeu nada? Então “keep calm” e vem com a gente aprender.

A raiz de um polinômio vai “zerar” a chamada equação polinomial, correto? Sendo assim, o teorema de D’Alembert nos diz que: todo vez que tivermos um polinômio qualquer – P(x) –, e, ele for divisível por x-a – binômio do primeiro grau – a divisão exata só ocorre se o número “a” for raiz do polinômio P(x).

Dando sequência ao artigo, acompanhe a seguinte representação matemática:

P(x) x-a

Temos aqui um polinômio sendo dividido por um binômio através de uma representação comum de divisão. Nessa operação aritmética teremos como “resto” P(a), portanto:

R = P(a)

Continue acompanhando o raciocínio. Se o polinômio P(x) for divisível por x-a o resto terá de ser igual a zero. Vamos ao exemplo:

P(x) = 3×4 – 2×3 – x2 + 2x – 2

P(1) = 3.14 – 2.13 -12 +1.x – 2

P(1) = 3 – 2 – 1

P(1) = 0

Repare que aqui você já tinha conhecimento de que a raiz do polinômio era 1, talvez por isso seja mais simples entender o raciocínio.

O que posso aprender com isso?

Através de seu teorema D’Alembert conseguiu provar que um polinômio qualquer é divisível por x-a se P(a) for igual a zero, portanto, uma divisão absoluta. Como já dito no início deste texto tal postulado facilitou, e muito, o cálculo polinômio dividido por binômio, e, é por isso que não há necessidade de resolvermos toda a divisão para descobrir que o resto é igual, ou, diferente de zero. Prático não é mesmo?

Curiosidades: Quem foi D’ Alembert?

Já que na matemática teoremas, postulados e fórmulas levam o nome de seus descobridores, ou, criadores, nada mais justo do que sabermos um pouco sobre quem foi D’Alembert.

Jean le Rond D’Alembert foi um filósofo, físico e matemático nascido em Paris no ano de 1717. Filho de uma escritora e um oficial das Forças Armadas D’Alembert teve uma infância não muito feliz, já que foi abandonado pela mãe nas escadarias da Capela Saint-Jean-le-Rond – daí vem seu nome – ainda nos primeiros dias de vida.

Após esse triste episódio foi adotado por um vidraceiro e sua esposa que cuidaram do pequeno “prodígio” como se fosse seu próprio filho. Não demorou muito para que D’Alembert desse os primeiros sinais de que era um gênio, característica que despertou em sua mãe biológica o interesse em tê-lo novamente. O pai biológico do menino, por sua vez, apesar de nunca reconhecê-lo legalmente foi quem arcou com as despesas de seus estudos secretamente.

Iniciando sua carreira acadêmica na área das ciências humanas (Teologia e Direito) D’Alembert demorou a descobrir sua verdadeira vocação para os números. Um de seus primeiros trabalhos reconhecido foi sobre o “Cálculo Integral”, ato que lhe rendeu o passaporte de entrada para um reconhecido colégio das ciências.

Por volta de 1743 publica “O Tratado da Dinâmica”, e, por méritos próprios, onze anos mais tarde é nomeado membro da Academia Francesa. Além de participar ativamente da vida acadêmica na França, D’Alembert mantinha contato com grandes pensadores da época como Rousseau e Voltaire.

Reconhecido, principalmente, por seus trabalhos no campo da matemática, e também da física, D’Alembert foi um grande estudioso que conseguiu provar ao mundo que mesmo vindo de uma infância cheia de problemas é possível superar tudo e vencer.

Com isso finalizamos mais um artigo. Desde já agradecemos por escolher o “Resumo Escolar” para suas pesquisas e aguardamos ansiosamente por nosso próximo encontro. Até lá!