Operações com Matrizes (matriz transposta, adição, subtração, oposta)
A evolução das matrizes como reconhecemos atualmente, foi datado no século XX. Os importantes nomes desse domínio são os matemáticos Augustin Cauchy, que relatou um trabalho fundamentado nos quadros de números publicados no século XVIII, e Arthur Cayley, J. Jacobi e Francesco Brioshi, que também relataram trabalhos essenciais embasados na pesquisa de Cauchy.
Ainda anterior ao século XX, exatamente no século XVIII, Seki e Leibniz, no Japão e na Alemanha nessa ordem, já tinham criado métodos de solucionar problemas contendo complexos lineares usando quadros numéricos iguais as matrizes recentes. Ainda no decorrer do século XVIII demais matemáticos exibiram as suas pesquisas a sociedade cientifica: Alexandre Vandermode e Pierre Laplace são exemplos deles.
Matriz Transposta
Considerando uma matriz B do modelo p x q, denomina-se transposta de B e mostra-se como Bt.
Matriz transposta é a matriz que se adquire mudando na ordem as colunas pelas linhas da matriz concedida. O cálculo de aquisição de uma matriz transposta de B é chamada de transposição da matriz.
Ex:
B = |-7 8|
|4 9|
|2 1|
Bt = |-7 4 2|
|8 9 1|
Observa-se que A é do modelo 3 x 2 e Bt é do modelo 2 x 3 e que, na matriz transposta , a primeira linha diz respeito a primeira coluna da matriz dada e a segunda linha refere-se a segunda coluna, também da matriz dada.
Adição de matrizes
Para somar duas matrizes ou mais é necessário que todas elas apresentem a mesma quantidade de colunas e linhas. A somatória dessas matrizes irá ocasionar em outra matriz que apresentará a mesma quantidade de colunas e linhas.
Os elementos deverão ser adicionados com os seus elementos equivalentes.
Começando por duas matrizes A e B de mesmo modelo, isto é, B = (bij)m x n e C = (cij)m x n, pode-se achar a matriz adição (B + C), satisfazendo, para tal, adicionar os termos equivalentes de B e C.
Onde,
B + C = (bij+cij)m x n no qual 1 < i < m e 1 < j < n
Ex:
Considerando as matrizes A e B, defina a matriz adição (A + B).
A = |2 0| e B = |1 4|
|-1 5| |-2 0|
Tal como A = (aij)2 x 2 e B = (bij)2 x 2, ou seja, A e B possuem o mesmo modelo, com isso, pode-se fazer a somatória dos elementos equivalentes para achar a matriz adição (A + B)2 x 2.
(A + B)2 x 2 = |a11 + b11 a12+ b12|
|a21 + b21 a22 + b22|
A + B = |2 + 1 0 + 4|
|-1 + (-2) 5 + 0|
A + B = |3 4| à Matriz Adição
|-3 5|
Propriedades da adição
Considerando B, C, D e O matrizes com o mesmo modelo e p, q e i, servem as propriedades:
– Associativa: B + (C + D) = (B + C) + D
– Comutativa: B + C = C + B
– Elemento oposto: B + (-B) = (-B) + B = 0
– Elemento neutro: B + O = O + B = B
– Transposta da soma: (B + C)t = Bt + Ct
Subtração de matrizes
Para subtrair duas matrizes é necessário que todas elas apresentem a mesma quantidade de colunas e linhas. A subtração dessas matrizes irá ocasionar em outra matriz que apresentará a mesma quantidade de colunas e linhas.
Cada termo de uma matriz deverá ser subtraído com o termo equivalente da matriz original.
A matriz resultante da operação é chamada de matriz diferença.
Começando por duas matrizes (B e C) de mesmo modelo, isto é, B = (bij)m x ne C = (cij)m x n, pode-se achar a matriz diferença (B – C) subtraindo os seus termos equivalentes entre si.
Onde,
B – C = (bij– cij)m x n no qual 1< i < m e 1< j < n
Ex:
Defina a matriz diferença de A e B.
A3 x 2 = |6 0| e B3 x 2 = |3 -2|
|-2 7| |0 1|
|1 8| |-1 6|
Acha-se a matriz diferença (A – B)3 x 2 da seguinte forma:
(A – B)3 X 2 = |a11 – b11 a12 – b12|
|a21 – b21 a22 – b22|
|a31 – b31 a32 – b32|
(A – B)3 x 2 = |6 – 3 0 – (-2)|
|-2 – 0 7 – 1|
|1 – (-1) 8 – 6|
(A – B)3 X 2 = |3 2| à Matriz Diferença
|-2 6|
|2 2|
Matriz oposta
Considerando uma matriz A, sua oposta ( –A) é aquela que somada a A origina uma matriz nula, ou seja, aquela onde os termos são equivalentes a zero.
Onde,
Am x n + (-Am x n) = 0m x n
É possível observar que nas matrizes A e (-A), os termos equivalentes são contrários.
Ex:
A partir da matriz A e sua oposta (-A) é possível chegar há uma matriz nula da seguinte maneira:
A = |3 -6| e -A = |-3 6|
|3/4 -1| |-3/4 1|
A + (-A) = |3 -6| + |-3 6|
|3/4 -1| |-3/4 1|
A + (-A) = |3 + (-3) -6 + 6|
|3/4 + (-3/4) -1 + 1|
A + (-A) = |0 0| à Matriz Nula
|0 0|