Pirâmides: Definição, Classificação e Elementos


É impossível falar em pirâmides sem se referir às edi­ficadas no Egito Antigo. Imhotep (século XXVII a.C.) é mencionado em docu­mentos históricos escritos como o mais antigo arquiteto, pois participou da construção em pedra mais antiga do mundo: a pirâmide de Sakkara (62 m com seis enormes degraus).

Definição

Pirâmides são poliedros convexos limitados por uma região poligonal (polígono ABCDE do desenho) situada sobre um plano a e um ponto não-pertencente ao plano a (ponto V do desenho), que serve como vértice do ân­gulo poliédrico.

Pirâmides

Com a evolução da engenharia, as pirâmides passa­ram a ser construídas com faces planas. Das oitenta pirâ­mides que resistiram ao tempo, as mais famosas são as de Gize: Quéops, Quéfren e Miquerinos, sendo a maior delas Quéops, construída pelo Rei Kufu (ou Quéops), com 147 m de altura e cujos lados da base medem igualmente 228 m.

Em seus 49 andares foram utilizados 2 300 000 blocos de granito, cada um com 2,5 toneladas em média. Cerca de cem mil funcionários foram empregados durante os vinte anos em que a pirâmide de Quéops foi edificada. A Grande Pirâmide foi a mais alta estrutura feita pelo ho­mem até 1900, quando a Torre Eiffel foi construída. As outras duas pirâmides foram construídas pelo seu filho, Quéfren, e pelo seu neto, Menkaure (ou Miquerinos).

O curioso é que a palavra pirâmide não provém da língua egípcia, mas do grego pyra (fogo, luz, símbolo) e midios (medidas). Os egípcios acreditavam que, enterran­do seu rei numa pirâmide, ele se elevaria e se juntaria ao Sol, tomando seu lugar de direito junto aos deuses.

Além de grandes arquitetos, os egípcios foram ótimos astrônomos. Atribui-se a eles o primeiro calendário da história da humanidade, no qual o ano tinha doze me­ses de trinta dias (ou seja, 360 dias) e mais cinco eram acrescidos para comemorar o aniversário dos deuses Osí-ris, Hórus, ísis, Neftis e Set, totalizando 365 dias.
Eles também contavam dias de 24 horas e perceberam que o ano era formado por 365 dias mais 1/4 de dia, mas só corrigiram seu calendário em 238 a.C. Considerando que isto se deu há aproximadamente 6 000 anos, pode-se afirmar que a precisão do calendário solar egípcio era impressionante.

Elementos
• Altura (H) — é a distância do vértice V ao plano a.
• Aresta da base (ab = i) – são os lados do polígo­no da base: ÃB, BC, CD, DÊ e ÊÃ.
• Aresta lateral (a^) – são os segmentos com uma extremidade no vértice V e outra em um dos vértices do polígono da base: VA, VB, VC, VD e VÊ.
• Base – é o polígono da base: ABCDE.
• Face – são os triângulos: AVB, BVC, CVD, DVE, EVA.

Classificação

As pirâmides são classificadas de acordo com o polí­gono da base. Veja a seguir.
• Pirâmide triangular – a base é um triângulo.
• Pirâmide quadrangular – a base é um quadri­látero.
• Pirâmide pentagonal – a base é um pentágono.
• Pirâmide hexagonal – a base é um hexágono.

• Aresta da base (ab = £) – são os lados do polígo­no regular da base.
• Aresta lateral (a^) – são os lados congruentes dos triângulos isósceles que formam as faces la­terais da pirâmide.
• Base – é o polígono regular da base. Face – são triângulos isósceles. As faces são congruentes.
• Apótema da base (r) – é o raio da circunferência inscrita à base.
• Apótema da pirâmide (a^) – é a altura do triângu­lo isósceles da face.
• Raio (R) – é o raio da circunferência circunscrita à base.

Atenção

Se o polígono da base for regular, a pirâmide será chamada triangular regular (a base é um tri­ângulo equilátero), quadrangular regular (a base é um quadrado), hexagonal regular (a base é um hexágono regular) etc.

Elementos e relações métricas de uma pirâmide regular

Uma pirâmide é regular quando apresenta como base um polígono regular e sua altura tem uma extremidade no vértice e outra no centro da base.

Área da base – é a área da superfície do polígo­no da base.
Sb = área do polígono da base
Área lateral — é a soma das áreas das superfícies dos triângulos isósceles congruentes que formam as faces. Quando o polígono da base é regular:
S, = n • a,
Altura (H) – é a distância do vértice V ao ponto C, que é o centro das circunferências inscrita e circunscrita ao polígono regular da base. A altura é perpendicular ao plano da base.

Neste caso, n é o número de lados do polígono da base, í é a medida do lado da base e a é o apótema da pirâmide, igual à altura dos triângulos das faces.

Pelo princípio de Cavalieri, duas pirâmides com áreas das superfícies das bases iguais e com a mesma altura têm o mesmo volume. Logo, o volume de uma pirâmide qualquer pode ser calculado por:

Atenção!

A área da superfície lateral e o volume do tron­co podem ser obtidos pela diferença entre os valo­res da pirâmide maior e os da pirâmide menor. Para a área da superfície total do tronco, deve-se somar a área da superfície da secção ao valor da área da superfície da base da pirâmide e ao valor obtido pela diferença entre as das superfícies laterais.

Secção transversal e tronco

Quando uma pirâmide é seccionada por um plano paralelo à base, divide-se em duas partes: uma que vai do vértice até a secção – que também é uma pirâmide – e outra que vai da secção até a base – chamada de tronco.