Polígonos Regulares


Um polígono é dito regular quando for equilátero (lados congruentes) e equiângulo (ângulos congruentes). Ao dividir uma circunferência em n (n > 3) arcos congruentes, a união de dois pontos consecutivos quais­quer marcados sobre a circunferência pelos arcos deter­mina uma corda, e todas as cordas determinadas por esse método são congruentes; portanto, formam um polígono regular de n lados, inscrito na circunferência. Todo polí­gono regular é inscritível em uma circunferência, pois todos os seus vértices pertencem a ela.

Polígonos

Quando um polígono regular apresenta um nú­mero par de lados, ele tem diagonais que passam pelo centro. Caso o número de lados seja ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.

Apótema de um polígono regular

Apótema é o segmento que une o centro do polígo­no ao ponto médio de um de seus lados. O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Entre os polígonos regulares, existem três que se des­tacam: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular.

Triângulo equilátero

Ao dividir uma circunferência em n (n > 3) arcos congruentes, ao traçarem-se tangentes à circunferência pelos pontos nela marcados pelos arcos, obtém-se um po­lígono regular de n lados. Todo polígono regular é circunscritível em uma circunferência, pois todos os seus lados tangenciam essa circunferência.

Podem ser observadas algumas propriedades dos polígonos regulares com base no enunciado anterior:
•         a circunferência inscrita e a circunferência cir­cunscrita a um polígono regular são concêntri­cas, e seus centros são os centros do polígono;
•         cada um dos arcos congruentes em que foi divi­dida a circunferência é chamado de ângulo cêntrico e tem medida dada por a = 3°.

A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por Sj = 180° (n – 2) e a soma dos ângulos externos de um polígono é Se = 360°. Sabe-se que os ângulos são congruentes; então, a medida de cada ângulo interno ou externo é obtida.

No triângulo equilátero, a mediana (uma reta que sai do vértice e vai até o ponto médio do lado oposto), a bissetriz (semi-reta que divide o ângulo ao meio), a mediatriz (reta perpendicular ao lado e que o divide ao meio) e a altura (reta que sai do vértice e chega no lado oposto formando 90°) são coincidentes e, consequentemente, os pontos de encontro delas também (BICO -baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro).

Uma propriedade importante do baricentro é a de que ele divide a mediana em três partes congruentes: uma do lado até ele e as outras duas dele até o vértice. Com isso, os valores dos raios das circunferências inscrita e circunscrita dependem do valor da altura. Desse modo, é necessário determiná-la.

O raio da circunferência inscrita depende apenas do valor do lado. O raio da circunferência circunscri­ta depende do valor da diagonal. Desse modo, é ne­cessário obter a diagonal.
d2 = l2 + e d2=2£2 â= V2?
d= A/2

A área da superfície de um paralelogramo pode ser calculada por S = b • h, S = í. • l,
S = í2

Exercício resolvido

O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determinar o lado do triângulo.
a = r=^-h = 3cm h = 9 cm