Pontos de Intersecção entre Funções

Quando se calcula os pontos de intersecção entre duas funções, está somente determinando os números para x e y que atendem ao mesmo tempo ambas as funções.

Observe alguns exemplos a seguir:

1) Apresentada as funções y = x + 1 e y = 2x – 1, é possível calcular o ponto de interseção entre as duas da seguinte forme:

– As duas funções são de 1º grau, lembrando que a sua reprodução em um plano cartesiano é uma reta.

– a primeira coisa é igualar as funções e determinar os valores de x

x + 1 = 2x – 1

x – 2x = -1 – 1

-x = -2

x = 2

– depois substitui o valor de x na expressão e determina o valor de y

y = x + 1 y = 2x – 1

y = 2 + 1 y = 2. 2 – 1

y = 3 y = 3

Portanto,

Os pontos de intersecção entre as duas funções são as coordenadas (2, 3).

2) A mesma coisa pode ser feita com as funções y = 2x e y = -x2 + 4x

– igualar as funções

-x2 + 2x = 2x

-x2 + 4x – 2x = 0

-x2 + 2x = 0 .(-1)

x2 – 2x = 0

– usando a fórmula de Báskara para funções de 2º grau que determinará os valores de x

x(x – 2) = 0

x’ = 0

x’’ = 2

– substituir nas fórmulas os valores de x’ = 0

y = 2x y = -x2+ 4x

y = 2. 0 y = -02+ 4. 0

y = 0 y = 0

– substituir nas fórmulas os valores de x’’ = 2

y = 2x y = -x2+ 4x

y = 2. 2 y = -(2)2+ . 2

y = 4 y = -4 + 8

y = 4

Portanto,

Os pontos de intersecção entre as duas funções são as coordenadas (0, 0) e (2, 4).

Funções

A relevância da analise de funções não é limitada somente as utilidades da matemática, porém usado na prática nas demais ciências, como a química e a física.

A função é usada para ligar quantidades numéricas de uma certa expressão algébrica conforme cada número que a variante x admite.

No campo da matemática, a análise de função é separada essencialmente em:

– Função de primeiro grau

– Função de segundo grau

Função de 1º grau

Toda função é determinada por uma regra de formação, na condição de uma função de 1º grau a regra de formação é a seguinte: y = ax + b, no qual a e b são números reais e a é diferente de zero.

Esse modelo de função só pode ser dos reais para os reais.

A reprodução gráfica de uma função de 1º grau é expressa por uma reta. Avaliando a regra de formação y = ax + b, observa-se a submissão entre x e y, e constatam-se dois números: a e b. Esses números são os coeficientes da função, o número de a mostra se a função e decrescente ou crescente e o número de b mostra o ponto de intersecção da função em relação ao eixo y do plano cartesiano.

Uma função é crescente quando conforme os números de x crescem, os números equivalente a y também crescem. Já quando a função é decrescente, os valores de x crescem e os valores de y diminuem.

Ex:

1) y = 4x + 2, a = 4 e b = 2

2) y = -2x + 10, a = -2 e b = 10

3) y = 5x – 9, a = 5 e b = -9

Função de 2º grau

Para uma função ser de 2º grau ela precisa admitir certas características, uma vez que ela precisa ser dos reais para os reais, determinada pelo modelo f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais diferentes de zero. Dessa forma, é possível concluir que o requisito para uma função ser de 2º grau é que o número de a, da forma usual, tem que ser diferente de zero.

Então, pode-se afirmar que a descrição da função de 2º grau é: f: R? R expressa por f(x) = ax2 + bx + c, com a ? R* e b e c ? R.

Em uma função do segundo grau, os números de b e c podem ser zero, quando isso acontecer, a equação será julgada como incompleta.

Ex:

1) f(x) = 5×2 – 2x + 8, a = 5, b = -2 e c = 8 (completa)

2) f(x) = -x2, a = -1, b = 0 e c = 0 (incompleta)

3) f(x) = x2– 2x, a = 1, b = -2 e c = 0 (incompleta)

Diferente das funções de 1º grau, as funções de 2º grau possuirão imagem, domínio e contradomínio.