Probabilidade da União de dois Eventos


Se você já estudou um pouco de probabilidade, sabe o que o conceito significa. Se você ainda não estudou não se preocupe: vamos dar uma rápida passada sobre o assunto para que possamos abordar o tema que nos interessa aqui (recomendamos que, para um entendimento mais profundo, você leia o texto sobre probabilidade matemática na íntegra).

Probabilidade é o estudo que visa quantificar possibilidade de um evento aleatório ocorrer. Por exemplo, quando lançamos um dado, qual a probabilidade de sua face contendo o número 4 cair virada para cima? Bom, um dado possui seis faces e só uma delas contém o número. Então, disso podemos deduzir que a probabilidade do dado cair com o número para cima é uma de seis.

Vamos tentar formalizar tudo o que foi dito no parágrafo anterior. Jogar o dado para cima é chamado de experimento aleatório. Todos os resultados possíveis, no caso 6 já que o dado tem 6 faces, é chamado de espaço amostral. Disso temos que a probabilidade é o número de casos favoráveis (em nosso caso só um) divididos pelo número de casos possíveis (6 em nosso exemplo). Portanto, em linguagem matemática, isto é dito da seguinte maneira: P(A) = n(A)/n(S). Aplicando em nosso caso, temos que P(4) = 1/6.

União de dois Eventos

Fácil, não? Agora imaginem que o mesmo dado de nosso exemplo é lançado novamente, mas agora ao invés de somente uma probabilidade, queremos saber duas, como, por exemplo, qual a possibilidade do dado cair com números ímpares ou números primos voltados para cima. A coisa se torna um pouco mais complicada, pois neste caso estamos tratando da probabilidade da união de dois eventos. Vamos analisar este tipo de probabilidade com um pouco mais de zelo.

Entendendo a probabilidade da união de eventos 1

A primeira dedução que podemos fazer pela breve introdução da probabilidade de união de eventos acima é que esses eventos ocorrem no mesmo espaço amostral. Assim, se estamos falando de um dado, devemos considerar somente o número das seis faces que ele apresenta e não considerar que um novo dado foi introduzido no experimento aleatório.

A segunda coisa que devemos ter em mente é que, mesmo tratando-se de dois eventos, cada evento é um evento. Por isso, a probabilidade de cada um será, À PRINCÍPIO, calculada separadamente. A título de ilustração vamos resolver o exercício.

Têm-se um dado, nosso espaço amostral será n(S) = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}. Quais são os números ímpares presentes neste espaço amostral? 1, 3 e 5. Vamos chamar os números ímpares de n(I). Utilizando a fórmula da probabilidade, temos que N(I) = n(I)/n(S). Logo, N(I) = 3/6. Realizando o mesmo procedimento com os números primos (lembrando que número primos são aqueles que só podem ser divididos por eles mesmo para que obtenhamos um resultado exato), que convencionados chamar de n(P), temos que são 2, 3 e 5. Logo, temos que P(P) = n(P)/n(S), portanto P(P) = 3/6.

A lógica nos induz a conclusão que basta somar a probabilidade de cada evento ocorrer – afinal estamos tratando da probabilidade da união de eventos – e teremos nosso resultado, certo? Nem tudo é tão simples assim. Notem que, quando comparamos n(I) e n(P), temos dois números iguais que aparecem em ambos. Isso nos indica que estamos tratando de um novo conceito, denominado intersecção.

A intersecção 2

Se você já estudou a teoria dos conjuntos matemáticos, sabe que a intersecção é (são) o(s) ponto(s) de ligação entre dois ou mais conjuntos. No caso de nossos conjuntos, representados por n(I) e n(P), temos os elementos 2 e 5 na intersecção dos conjuntos. Isso afeta diretamente o resultado de nossa probabilidade, pois se eles pertencem aos dois conjuntos, eles teoricamente têm mais chances de aparecer como resultado que os números 1 e 2, que pertencem exclusivamente a seus respectivos conjuntos. Por isso o conceito de intersecção é tão importante quando estudamos a probabilidade de união de eventos.

Assim, o que devemos fazer é subtrair os elementos da intersecção da soma das probabilidades n(I) e n(P). Mas antes disse é necessário transformar essa intersecção em uma probabilidade, para que as operações fiquem compatíveis. Assim, temos 2 números, o que significa que n(Is) = 2. Portanto P(Is) = n(Is)/n(S) >>> P(Is) = 2/6.

Antes de realizarmos as operações, é necessário abrir um parêntese. Como estamos trabalhando com resultados fracionários, as frações poderiam ser simplificadas, como 2/6 por 1/3 e 3/6 por 1/2. No entanto, isso geraria ainda mais trabalho, já que no momento de realizar a soma/subtração, seria necessário calcular o MMC. Por isso, mesmo que esteja trabalhando com frações grandes, não as simplifique, pois o denominador sempre será o mesmo devido ao espaço amostral ser o mesmo. No final, se achar conveniente, é possível transforma-la em porcentagem.

Somando P(I) e P(P) e subtraindo P(Is), temos que 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6. Portanto, a probabilidade de obtermos um número que seja primo ou ímpar no lançamento de um dado de seis faces é de 4 em 6.