Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Circulares Inversas


Arcos correspondentes

É importante visualizar a ideia de que cada arco do l? quadrante possui um arco correspondente, com valor diferente, no 2?, no 3? e no 4? quadrantes. Para obter os pontos que representam os arcos correspondentes, deve-se projetar o ponto marcado pelo arco no l? quadrante, por meio do traçado de paralelas aos eixos (horizontal e / ou vertical), nos quadrantes de interesse.

Redução ao Primeiro Quadrante

Redução numérica ao primeiro quadrante

•     Do segundo para o primeiro quadrante: Se x está no l? Q, seu correspondente no 2? Q é (180°-x).
• Do terceiro para o primeiro quadrante: Se x está no l? Q, seu correspondente no 3? Q é (180° + x).
• Do quarto para o primeiro quadrante: Se x está no l? Q, seu correspondente no 4? Q é (360° – x).
• Com base na congruência dos arcos (AB = CD = DE = FA), pode-se afirmar
• Por meio do círculo seguinte, pode-se verificar os principais casos:

Redução genérica ao primeiro quadrante

A redução genérica ao primeiro quadrante é muito utilizada para a simplificação de expressões. Na seguinte situação, está ilustrado o que ocorre com o seno.

•     0° < x < 90° •     +x —> sentido anti-horário
•     —x —> sentido horário
•     o sinal será sempre o da função dada.

Exemplos:
a. cos (n + x) -> 3°. Q-> repete -> -cos x ‘3n
b. sec 3°. Q—> troca —> -cossec x

Podemos dizer que sen (180° – x) = sen x; sen (180° + x) – -sen x, sen (360° — x) = = sen (-x) = -sen x.

Quando os arcos divisores dos quadrantes utilizados simplificação é feita da seguinte forma: c. tg (-x) —> 4°. Q-> repete -> -tg x.

Funções circulares inversas

Arco seno

A função f : IR -» IR/ f (x) = sen x não é injetora nem sobrejetora, por isso não é bijetora; portanto, não admite inversa. Quando dois arcos são complementares (somam 90°), o seno de um deles é igual ao cosseno do outro. Por isso, pode-se dizer que sen (90° + x) = -cos x; sen (90° – x) = cos x; sen (270° + x) = cos x; sen (270° – x) = -cos x.

Observação

Regra prática
•    Arcos do eixo horizontal
•    Arcos do eixo vertical
• Arco cosseno

A função/: IR/ f (x) = cos x não é injetora nem sobrejeto­ra, desse modo, não é bijetora; portanto não admite inversa. Se/:[0, n] —> [-1, l]//(x) = cos x, ela é bijetora e admite inversa, ou seja, /x) = y = tg x inversa —> x = tg y /’ (x) – y-1 = are tg x / y = tg x -» x = are tg y.

OPERAÇÕES COM ARCOS

Adição e subtração de arcos

Para entender melhor a adição e a subtração de ar­cos é necessário, inicialmente, visualizar a seguinte situ­ação e perceber o que não pode ser feito:
sen 90° = sen (30° + 60°) sen 90° = sen 30° + sen 60°.

O erro está na aplicação da propriedade distributiva, o que não é possível, já que o que se tem é o seno do arco e não o seno multiplicado pelo arco.
Para trabalhar com a adição de arcos do l? quadran­te, com o resultado da soma sendo um arco também do l? quadrante, é interessante analisar a seguinte situação:

Substituindo (2) e (3) em (1), sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a. Utilizando raciocínio semelhante, pode-se demonstrar a adição de arcos para cosseno e tangente, bem como a subtração de arcos para seno, cosseno e tangente. sen (a ± b) = sen a • cos b ± sen b • cos a cos (a ± b) = cos a.

Bissecção de arcos arcos metade

Considerando cos 2x = cos2 x – sen2 x e como cos2 x = l – sen2x, então, cos 2x = l – sen2 x  – sen2 x cos 2x = l – 2 sen2 x 2 sen2 x = l – cos 2x