Regra prática para calcular MMC e MDC


Trabalhar com matemática pode ser um verdadeiro sacrifício para estudantes e concurseiros. No entanto, apesar de parecer intimidadora à primeira vista, com dedicação e real interesse tudo acaba se tornando simples. Assim como nas diversas outras disciplinas, na matemática é necessário ter um conhecimento global, pois assim é possível realizar manobras visando facilitar a resolução de determinado exercício. Este é o caso do MMC e MDC.

Regra prática para calcular MMC e MDC

Apesar de ser bastante simples, muitos consideram o cálculo destes dois fatores difícil e sem utilidade prática. No entanto, além de extremamente fácil, eles são de extrema utilidade na resolução de problemas com frações, já que são capazes de simplificá-las.

Neste artigo você irá aprender diversas regras práticas para o cálculo do MMC e do MDC, que não só irão provar a simplicidade do conceito, como também demonstrar o quanto sua aplicação é capaz de economizar tempo, fundamental na realização do ENEM, vestibulares e concursos.

Calcular MMC

Como já dito acima, para que haja a possibilidade de cálculo tanto do MMC quanto do MDC é necessário que haja dois ou mais números, pois o “comum” se refere a semelhança que há entre ambos.

No MMC, buscamos o multiplicador comum, ou seja, o menor múltiplo inteiro e positivo dos números trabalhados. Mas como fazemos isso? Há três maneiras distintas, mostradas no passo a passo a seguir.

1. Fatoração
Talvez este seja o método mais conhecido e utilizado, principalmente para aquelas pessoas que estão começando a aprender sobre o MMC. A fatoração consiste em dividir todos os números em questão pelos menores números primos possíveis (lembrando que números primos são aqueles possíveis dividir somente por 1 ou por ele mesmo). Suponhamos que estamos querendo achar o MMC dos números 7,15 e 20.

7 14 20 | 2
7 7 10 | 2
7 7 5 | 5
7 7 1 | 7
1 1 1

Quando todos as divisões por números primos chegam ao resultado 1, podemos parar de dividir. No entanto, isso não significa que chegamos ao MMC, pois ele é a multiplicação de todos os números da coluna direita (divisores primos). Assim, 2 x 2 x 5 x 7 = 140. Portanto o MMC de 7, 14 e 20 é 140 ou, escrito na notação correta, MMC 7, 14, 20 = 140.

Quando temos uma fração, o MMC é mais fácil de ser obtido. Suponhamos que em determinado exercício precisamos calcular o MMC da seguinte fração:
18
__
12

Na fração acima, o menor número primo capaz de dividir ambos termos é 2, portanto, podemos simplificá-la:
18 9
__ = __
12 6
Através dessa simples simplificação podemos chegar ao MMC, pois o resultado da multiplicação em cruz nos dá a resposta. Notem que 18 x 6 é o mesmo que 12 x 9. Portanto, podemos escolher qualquer uma das possibilidades, já que ambas darão 108, isto é, MMC 18, 12 = 108.

Calcular MDC2

Se no MMC procura-se pelo mínimo multiplicador comum, no MDC procura-se exatamente o contrário, ou seja, o máximo multiplicador comum a dois ou mais números.

No cálculo do MDC, é feito o mesmo procedimento de fatoração utilizado no MMC, mas o que procuramos é o maior número possível pelo qual dois ou mais números podem ser divididos. Isso significa que devemos voltar nosso olhar a outros aspectos da fatoração: os termos comuns. Com um exemplo ficará mais fácil entender.

Suponhamos que queremos encontrar o MDC dos números 105, 245 e 875. Utilizando a fatoração temos que:
105 245 875 | 2
105 245 875 | 3
35 245 875 | 5
7 49 175 | 5
7 49 35 | 5
7 49 7 | 7
1 7 7 | 7
1 1 1

Apesar de termos realizado o cálculo até chegarmos a 1, ou seja, até a 8° linha, poderíamos para na sexta, pois no MDC queremos saber o que nos interesse é os números da coluna esquerda capaz de dividir todos os números em questão ao mesmo tempo.

Observando a fatoração, podemos concluir que os únicos números capazes de dividir ao mesmo tempo os três números da coluna esquerda é 5 e 7. Mais que isso, podemos deduzir que 5 e 7 aparecem apenas uma vez. Portanto, o MDC de 7105, 245 e 875 será a multiplicação de 5 e 7. Logo, MDC 105, 245, 875 = 5 x 7 >>> MDC 105, 245, 875 = 35.

Quando queremos descobrir o MDC de apenas dois números, podemos usar um procedimento mais rápido que a fatoração: o algoritmo de Euclides. Vamos supor que precisamos achar o MDC de 320 e 100. No algoritmo de Euclides devemos primeiro:

– Dividir o número maior pelo menor: 320/100 = 3, com resto 20
– Dividir o menor número pelo resto da primeira divisão: 100/20 = 5, com resto 0.
Portanto, o penúltimo resto obtido, antes do zero, será o MDC de 320 e 100, ou DDC 320, 100 = 5.