Resolução de Problemas com Equações Fracionárias


As equações são aquelas expressões algébricas conhecidas pelo uso de diferentes letras (como x, y e z) na representação de valores desconhecidos. Algumas delas, inclusive, são apresentadas com frações na sua resolução e necessitam de técnicas diferenciadas em seus cálculos.

No caso das frações, por exemplo, é preciso reduzir denominadores a um mesmo valor. Isso se dá com o cálculo do mínimo múltiplo comum (MMC). Depois, divide-se esse denominador pelo anterior e multiplica-se o resultado pelo numerador correspondente.

A equação fracionária se distingue das outras, então, porque ao menos um de seus termos se caracteriza como fração algébrica e a incógnita está em seu denominador. São aquelas que têm variáveis em seus denominadores.

Equações Fracionárias

Levando em conta que uma fração nunca tem um de seus denominadores nulo (zero), ao solucionar um tipo de equação fracionária é preciso analisar seus denominadores para identificar os casos em que a equação não é definida.

• Primeiro exemplo:

2 / x = x – 1 / x + 2

Como no exemplo acima os denominadores têm de ser distintos de zero, dizemos então que: x ≠ 0 e x ≠ -2. Para resolver, é preciso encontrar o MMC entre os dois denominadores para, então, dividir este por denominador e multiplicar ele por seu respectivo denominador:

2(x + 2) / x(x + 2) = x(x – 1) / x(x +2)

De modo que ambos são iguais, podem ser desconsiderados:

2(x + 2) = x(x – 1)

Agora, ao se aplicar a propriedade distributiva, alcançamos o seguinte:

2x + 4 = x2 – x

Se pusermos cada termo da equação de um mesmo lado, construímos uma equação de segundo grau:

x2 – 3x – 4 = 0

Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = -3 e c = -4, e ela se resolve por meio da fórmula de Bhaskara.

• Segundo exemplo:

2 / x – 1 / x-2 + 2 / x+2 = 1 / x2–4

x ≠ 0
x–2 ≠ 0 → x ≠ 2
x+2 ≠ 0 → x ≠ 2
x2 – 4 ≠ 0 → x2 ≠ 4 → x ≠ 2√4 → x ≠ ±2

2 / x – 1 / x-2 + 2 / x+2 = 1 / (x+2)(x–2)

Encontrar agora o MMC dos denominadores dessa equação fracionária para depois dividir este por denominador e multiplicar por seu numerador:

2.(x+2).(x–2) – 1x.(x+2) + 2x.(x–2) / x(x+2)(x–2) = 1x / x(x+2)(x–2)

Note que ambos denominadores são idênticos e assim, mais uma vez, é possível desconsiderar os dois. Aplique agora a propriedade distributiva:

2×2 – 8 – x2 + 2x + 2×2 – 2x – x = 0
3×2 – x – 8 = 0

E, por fim, utilize a fórmula de Bhaskara para solucionar essa equação de segundo grau, que têm como coeficientes: a = 3, b = -1 e c = -8.

Resolvendo um problema com a equação fracionária

Quem não se lembra dos famosos ‘problemas’ da matemática, não é mesmo? Alguns deles pedem o uso das equações algébricas fracionárias. Confira abaixo três exemplos:

• Francisca possuía certa quantia de dinheiro e sua mãe lhe deu o dobro. Cada uma delas acabou ficando com R$ 186. Qual o valor de dinheiro que Francisca e sua mãe tinham no início?

A quantia que Francisca tinha será “x”, pois é um valor desconhecido. Como depois ela ganhou o dobro, temos: x + 2x. Vamos, então, calcular o valor de x:

x + 2x = 186
3x = 186
x = 186 / 3
x = 62

Assim, antes de ganhar o dobro do seu dinheiro, Francisca tinha R$ 62. Já sua mãe, por outro lado, tinha os R$ 186 somados com a quantia que deu para a filha (R$ 124).

186 + 124 = 310

Sendo assim, a mãe de Francisca possuía R$ 310.

• R$ 14 mil precisam ser distribuídos, em partes iguais, para certa quantidade de pessoas (x). Antes disso, porém, dez delas acabaram indo embora e ficou necessário distribuir apenas R$ 12 mil para que todas recebessem o mesmo valor do início. Nessa situação, quantas pessoas havia inicialmente?

Equacionando temos: 14.000 / x = 12.000 / x -10

Solução: multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e o numerador da segunda pelo denominador da primeira

14.000(x-10) = 12.000x
14.000x – 140.000 = 12.000x
14.000x – 12.000x = 140.000
2.000x = 140.000
x = 140.000 / 2.000

x = 70

• Um veículo que tem uma velocidade média percorre os 4 mil quilômetros que separam as cidades A e B em x horas. Outro, com essa mesma velocidade média, percorre os 2,2 mil km entre as cidades C e D em (x – 12) horas. Qual é o valor de x?

A velocidade média de um veículo é calculada ao se dividir o espaço percorrido por ele pelo tempo gasto nesse percurso: (Vm = S / t), sendo que S = variação de tempo e t = tempo de percurso.

4.000 / x = 2.200 / x – 12

4.000(x – 12) = 2.200x
4.000x – 48.000 = 2.200x
4.000x – 2.200x = 48.000
1.800x = 48.000

x = 48.000 / 1.800

x = 26,6