Resolução por Escalonamento de um Sistema Linear


Resolução por Escalonamento

Existem sistemas lineares que apresentam o mesmo conjunto – solução. Observe os dois sistemas lineares formados por três equações e três incógnitas. Observe que os dois sistemas lineares exemplifica­dos são equivalentes. Dessa forma, para obter o conjun­to-solução desses sistemas, bastaria resolver um deles. Mas qual deles possui a resolução mais simples?

Resolução por Escalonamento

É fácil verificar que o sistema (II) não precisa ser re­solvido pela regra de Cramer.
3x + y – z = 4 2y-z = 1 2z = 10
Substituindo na 1a equação:
Considerando a 3a equação:
Substituindo na 2a equação:

Veja um exemplo de como escalonar um sistema linear! Esse processo de resolução, entretanto, fica imedia­to quando o sistema está escalonado. Um sistema linear é escalonado se, e somente se, o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação.

Exemplo:
Resolver, por escalonamento, o sistema linear:
x + y+ z = 7
2x + 3y – z = 13
3x – y + 2z = 12
Resolução:

•  multiplicamos a 1 ? equação por -2 e adicionamos à 2?
equação:
Í
x + y+ z = 7 2x + 3y – z = 13 3x-y + 2z=12
I
x + y + z = 7 y-3z = -1 3x – y + 2z = 12

•  multiplicamos a 1 ? equação por -3 e adicionamos à 3?
equação:
3y-z + t = 1 6y – 3z + 2t = -7
fx + y + z = 10 (2)J2y-3z=15 6z=18

Escalonar um sistema linear é eliminar as incógni­tas a partir da segunda equação. Para escalonar um sistema, podemos:
(1?) trocar duas equações entre si;
(2?) multiplicar uma equação por um número diferente de zero e adicionar o resultado a outra equação;
(3?) dividir uma equação por um número diferente de zero.

x+y+z=7 y – 3z = -1 -4y-z = -9
• para eliminar a incógnita y da 3? equação, multiplica­mos a 2? por 4 e adicionamos à 3?

x + y + z = 7 y – 3z = -1 –4y- z = -9 +*-
Resolvendo o sistema a partir da 3? equação, da for-     Exemplo 2: ma escalonada, temos
z = 1
Resolver o sistema:

x + 2y = 7 2x + 4y = 14

Portanto, o conjunto-solução do sistema é:

Classificação de um Sistema

Até agora os sistemas lineares apresentados possuíam apenas uma solução. Isso, porém, nem sempre ocorre. Vamos considerar três sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas.
Exemplo 1:
[x + 2y = 7 Resolver o sistema <
[2x-y = 4
Resolução:
Por escalonamento:
.(-2)
x + 2y = 7 ~
2x – y = 4 + «-
x + 2y = 7 -5y = -10

Resolvendo a 2a equação:

2x + 4y = 14 + <«— i x + 2y = 7 0. y = 0 i { x + 2y = 7 Obtemos um sistema linear escalonado onde há mais incógnitas do que equações. Para encontrar solu­ções, devemos atribuir valores reais às incógnitas que não aparecem no início da equação resultante. No nosso exemplo, atribuímos valores à incógnita y. Assim: x = 7 – 2y •  y = 0=>x = 7-2. 0=>x = 7 (7; 0) é solução
•  y = -1=>X = 7-2.(-1)=>x = 9 (9; -1) é solução
•  y = 3=>x = 7-3 .2=>x = 1 (1; 3) é solução

Substituindo na 1a equação: x+2.2=7

Existe uma infinidade de soluções que são da forma (7 – 2y; y) ou seja:
= {(7-2y;y),

Exemplo 3:
Logo, o sistema apresenta uma solução e o conjun­to-solução é:
S = {(3; 2)}

Resolver o sistema:

x + 2y = 7
x + 2y = 10

Resolução:
Por escalonamento:
x + 2y = 7 x + 2y = 10 +
x + 2y = 7 0. y = 3

Nesse sistema, não existe par ordenado que satisfa­ça às duas equações lineares. Logo, o sistema não pos­sui solução. Existem três possibilidades quanto à solução de um sistema linear. Observe o resumo:

Resumo:
(1)    Quando um sistema linear apresenta uma única solução, é dito possível e determinado.
(2)    Quando um sistema linear apresenta infinitas solu­ções, é dito possível e indeterminado.
(3)    Quando um sistema linear não apresenta solução, é dito impossível.

Observação:
Num sistema linear, escrito na forma escalonada, possível e indeterminado, a diferença entre o número de incógnitas e o número de equações é dito grau de inde-terminação do sistema.

No exemplo 2, o grau de indeterminação do sistema linear é 1. Para você pensar e responder: Qual o grau de indeterminação do sistema linear?