Resumo sobre Esfera


Nesse artigo você irá aprender quais são as principais características da esfera, elementos básicos, fórmulas e usos.

Resumo sobre Esfera

Considerando o ponto O, no centro da esfera e um segmento de medida r (raio), existe um conjunto de pontos P do espaço, desde que OP seja menor ou igual a r.

Pode ser considerada a sequência de pontos alinhados à mesma distância e com um centro comum. Ela é tridimensional e perfeitamente simétrica.

A esfera é obtida por meio da revolução da semicircunferência sobre um mesmo eixo. A figura é um sólido e existem quatro elementos básicos a serem considerados para analisar a esfera:

  • Equador: corresponde a circunferência perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície.
  • Paralelo: qualquer circunferência perpendicular ao eixo.
  • Meridiano: qualquer circunferência que o plano passa pelo eixo.
  • Polos: são intersecções da superfície com relação ao eixo.

A área de uma superfície esférica do raio é igual a A:
A = 4.π. r²
É possível medir o volume da esfera, já que se trata de um sólido geométrico:
V = 4/3 . π. r³

Calota e segmento esférico

A calota corresponde a, metaforicamente, a “tampa” da esfera como a “tampa de uma laranja”. Para calcular a área é preciso seguir a seguinte fórmula:
Ac = 2 π. R. h

Já a área do segmento esférico pode ser obtida por:
As = At – Ac

As é a área do segmento, At corresponde à área total da esfera e Ac é a área da calota.
Agora, é possível calcular o volume do segmento:
V = π. H²/3 . (3. R-h)

Fuso e cunha

O fuso é uma parte da esfera como se fosse uma fatia dela ou um “gomo de tangerina”. É a interseção da superfície esférica com um diedro com aresta contém um diâmetro:
Af = α/ 360. 4 π. r²

Α é o ângulo em graus do fuso. Uma cunha é a interseção de uma esfera com um diedro com aresta que possui um diâmetro dessa esfera. Portanto o volume da cunha é:
Vc = α/ 360. 4/ π. r³

Dessa forma é possível estabelecer que a área e o volume da cunha podem ser descobertos diminuindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para as esferas.

Posição relativa entre o plano e a esfera

Caso o plano corte a esfera, passando pelo seu centro, têm-se duas partes de tamanhos exatamente iguais. É chamado de plano secante à esfera. Quanto o plano é a esfera não tem pontos em comum têm-se um plano externo à esfera. Já quando o plano tangencia a esfera em um único ponto, formando um ângulo de 90° com eixo simétrico têm-se um plano tangente à esfera.

Na geometria analítica ela também pode ser representada em coordenadas retangulares de acordo com a seguinte equação:
(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

Nesse caso a, b e c são as coordenadas do centro da esfera nos eixos x, y e z respectivamente. O r corresponde ao raio da esfera.

Usos da esfera em diversas áreas

Não inúmeros os usos da esfera, um exemplo é na área óptica da física. A seção de uma esfera, ou seja, sua circunferência forma uma lente esférica que são itens essenciais à construção de lentes de óculos. Na engenharia mecânica a esfera também é muito usada, pois a parte interior de peças capaz de fazer movimentos circulares sobre eixos são feitas de esferas em aço. É o caso das peças chamadas rolamentos. Os rolamentos, portanto, não formados por esferas, que permitem que o giro da roda em um eixo ocorra. Isso ocorre nas rodas dos carros, por exemplo.

Aplicação em volumes e líquidos: Um problema muito comum em empresas que armazenam líquidos em tanques de formato esférico, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é o fato de precisarem calcular volume de regiões a partir da altura do líquido colocado no tanque. Quando o tanque é esférico ele tem um furo na parte superior chamado de polo Norte, ali é introduzida uma vara de indicador de medida. Retirando tal vara é possível analisar o nível do líquido que fica aderido à vara. Essa é a medida da altura do líquido contido no tanque esférico.

Seja na indústria, na óptica ou em qualquer outra área, o tema é muito visto em exercícios e provas de vestibular. O ideal é decorar as fórmulas básicas e ler o enunciado com atenção, para não perder nenhum detalhe que possa auxiliar na resolução do problema. Diversos vestibulares possuem questões relacionadas às esferas, inserindo as fórmulas em situações problema. A medida do tanque, citada acima, seria uma possibilidade de tema para uma pergunta.

Outro conceito usado na matemática é o de bola, que corresponde ao espaço interior de uma esfera. Ela pode ser uma bola fechada, contando com pontos de fronteira e uma bola parte, não os considerando. Mas isso já é tema para outro artigo.