Semelhança de Triângulos e Área de um Triângulo


Semelhança de triângulos Triângulos congruentes

Dois triângulos serão congruentes se os ângulos de um forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro e os lados de um forem congruentes aos corres­pondentes lados do outro.

Exercício resolvido
Na figura a seguir, C = E, BC = 2 cm, AB = 4 cm, DE = 6 cm e AE = 9 cm.

Semelhança de Triângulos

a = a’
c = c’
A = A1      B = B1      C = C’
b = b’        —- ‘

Triângulos semelhantes

Dois triângulos serão semelhantes se os ângulos de um forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro e os lados de um forem proporcionais aos corres­pondentes lados do outro. Unindo os pontos médios de dois lados de um triân­gulo, obtém-se um segmento que é paralelo ao terceiro lado e de comprimento igual à metade do comprimento deste.

Relações métricas no triângulo retângulo

Considere os seguintes triângulos e os dados poste­riormente mencionados: Unindo os pontos médios dos três lados de um triân­gulo, obtém-se um novo triângulo semelhante ao primei­ro – com lados paralelos aos lados do primeiro e com comprimentos iguais à metade dos comprimentos do pri­meiro. Portanto, seu perímetro também será metade do perímetro do primeiro.
1. AABC « AACD –> b2 = a • m

2. AABC » AABD –> c2 = a • n

3. AABD « AACD –> h2 = m • n

4. AABC – AABD –> b-c = a-h

5. Pitágoras -> a2 = b2 + c2

Agora, observe dois exemplos que ilustram as rela­ções métricas no triângulo retângulo.

I.     Exercício resolvido

Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15 cm, a altura relativa ao maior lado mede
152 = 122 + 92 -» o triângulo é retângulo
a • h = b • c
15 • h = 12 • 9 -> h = 7,2 cm

Área de um triângulo

No papiro Ahmes (em homenagem ao escriba que o copiou em 1650 a. C.) ou papiro Rhind (em homenagem ao antiquário escocês Henry Rhind, que o comprou em 1858 numa cidade à beira do Rio Nilo), o problema 51 mostra que a área de um triângulo isósceles era calculada dividin­do-o ao meio, originando dois triângulos retângulos e, pelo deslocamento de um deles, formando um retângulo.

Considere um retângulo de base b e altura h: Sua área será: S = b • h. Traçando uma das diagonais do retângulo, este fica­rá dividido em dois triângulos retângulos de mesma área, conforme você pode verificar na sequência.

A área de um triângulo pode ser calculada em fun­ção das medidas dos três lados e do seu semi-perímetro pela Fórmula de Heron: S = Vp • (p – a) • (p – b) • (p – c).

Nesse caso, a, b e c são os lados e p é o semiperí­metro. A área de um triângulo pode ser calculada em fun­ção da medida do semiperímetro e do raio da circunfe­rência inscrita.

S = p • r

Nesse caso, p é o semiperímetro e r o raio da cir­cunferência inscrita. A área de um triângulo pode ser calculada em fun­ção das medidas dos três lados e do raio da circunferên­cia circunscrita. Nesse caso, a, b e c são os lados e R é o raio da circunferência circunscrita. A mediana divide um triângulo em dois triângulos de áreas equivalentes.