Sistema de duas equações


O que é um sistema de duas equações.

Um sistema de duas equações é um método matemático para a resolução de problemas em que temos duas variáveis.
A seguir, temos um exemplo de uma equação de duas variáveis:

x + y = 4

6x – 4y = 8

equações

Primeiro, devemos pensar: quais são as variáveis? Em matemática, as letras “X” e “Y” representam as variáveis.

Agora que já sabemos quais são as variáveis, vamos determinar o valor delas para que este sistema de equações seja verdadeiro.

Podemos utilizar dois métodos: o da adição e o da subtração. Vamos usar a equação acima para exemplificar estes métodos:

Método da substituição

No método da substituição, primeiro vamos isolar uma das variáveis. Vamos escolher a variável “X”.

Assim, a primeira equação ficará:

X = 4 – Y

Você percebeu que, quando passamos o y para o lado direito da equação, o sinal que o acompanha tornou-se negativo? É importante perceber estes detalhes para que a equação seja corretamente resolvida.

Agora, vamos pensar na segunda equação.

6x – 4y = 8

Vamos substituir o valor da variável X nesta equação pela igualdade que encontramos na primeira equação.

Desta maneira temos:

6. (4-y) -4y = 8

Note que, com esta substituição, temos apenas uma variável, a letra “Y”. Então, poderemos resolver como uma equação de uma variável:

24 – 6y – 4y = 8

24 – 10y = 8

– 10y = 8 – 24

– 10y = 16

Y = 16/ (-10)

Y = – 1,6 unidades.

Agora que já temos o valor de y, podemos retornar à primeira equação:

X + Y = 4

Como já sabemos o valor de Y, vamos substituí-lo na equação:

X + (1,6) = 4

X = 4 – 1,6

X = 2,4 unidades.

Logo, pelo método da substituição, temos a seguinte solução:

X,Y = (2,4; 1,6) unidades.

Este não é o único método para a resolução destas equações. Vamos fazer pelo método da adição:

Método da Adição:

Neste método, primeiro iremos somar as duas equações. Vamos fazer um exemplo para compreender melhor:

x + y = 4

6 x – 4y = 8

Onde a primeira equação é x + y = 4 e a segunda equação é 6 x – 4y = 8

Para somar as duas equações, primeiro precisamos que uma das somas resulte em zero. Para isto, vamos multiplicar a primeira equação por (-6). Assim, teremos:

x + y = 4 (-6)

6 x – 4y = 8

Agora que já multiplicamos, vamos reorganizar o sistema de equações:

-6x- 6y = – 24

6x- 4y = 8

Vamos adicionar os termos iguais. Assim, temos:

-6x + (+6x)= 0

– 6y + (-4y) = – 10 y

-24 + (+8 ) = – 16

Logo, teremos a seguinte equação:

0x – 10y = – 16

Qual o valor de X ? Para isto, basta seguirmos os procedimentos comuns para equações de uma variável:

10 Y = -16

Y = (-16) / (-10)

Y = + 1,6 unidades

Como já temos o valor de Y, podemos substituí-lo na primeira equação:

X + 1,6 = 4

X = 4 – 1,6

X = 2,4 unidades

Assim, a solução para o par de equações é:

X, Y = (2,4; -1,6 ) unidades

Note que chegamos aos mesmos valores para x e y do método anterior. Ou seja, o método utilizado não interfere no resultado final. Assim, você pode escolher qual dos dois métodos é mais adequado para resolver as equações que você precisar.

A este resultado chamamos de par ordenado (x, y). Estas equações também podem ser apresentadas de maneira gráfica, uma vez que ambas representam uma reta no plano cartesiano. Lembre-se que a equação da reta é definida por ax + b = 0

Problemas com sistemas de duas equações:

1) A diferença entre o dobro de um número e o triplo de outro número é igual a seis. Por sua vez, o quádruplo do primeiro número mais o segundo número é igual a 2. Quais são os números?

Vamos lá, quais são as equação?

2x – 3y = 6

4x + y = 2

Vamos utilizar o método da adição:

2x – 3y = 6 (-2)

-4x -6y = -12

Logo, teremos:

-4x -6y = -12

4x + y = 2

Vamos somar os termos iguais:

-4x + 4x = 0

-6y + y = -5y

-12 + 2 = -10

Agora, teremos a seguinte equação:

-5y = -10

Y = (-10) / (-5)

Y = 2 unidades

Se já temos o valor de Y, qual é o valor de X? Para descobrir, basta substituir os valores de Y na equação:

2x – 3y = 6

2x – 3 (2) = 6

2x – 6 = 6

2x = 12

X = 6 unidades.

Assim, o par ordenado das equações é (x,y) = ( 6, 2)