Sólidos Inscritos e Circunscritos


Os sólidos geométricos estão, muitas vezes, conju­gados entre si nas diversas situações do dia-a-dia. O prin­cipal entretanto, é perceber que existem relações entre os elementos de cada um dos sólidos envolvidos.

Prismas

Podem apresentar diferentes polígonos em suas ba­ses e os casos mais comuns são os de prisma reto com base quadrangular regular reta conjugado a outro sólido geométrico.

Sólidos Inscritos

É importante observar que:
•         as arestas laterais do prisma tocam o cilindro;
•         o círculo da base do cilindro está circunscrito ao polígono da base do prisma;
•         o prisma e o cilindro apresentam a mesma medi­da de altura.

Prisma circunscrito a uma pirâmide

Prismas e pirâmides podem apresentar diferentes polígonos em suas bases. O caso mais comum é o de um prisma e (ou) uma pirâmide com bases quadrangulares regulares, em que um vértice da pirâmide toca no centro da face do prisma. A imagem a seguir apresenta uma pi­râmide inscrita em um cubo.

É importante observar que:
•         o cilindro toca todas as faces laterais do prisma;
•         o círculo da base do cilindro está inscrito no polígono da base do prisma;
•         o raio da base do cilindro é igual ao raio do cír­culo inscrito na base do prisma (apótema);
•         o prisma e o cilindro apresentam a mesma medi­da de altura.

Prisma inscrito em um cilindro

É importante observar que:
•        o prisma e a pirâmide apresentam o mesmo po­lígono em suas bases;
•        as alturas do prisma e da pirâmide apresentam a mesma medida;
•        a aresta lateral da pirâmide, a altura e o raio de uma circunferência circunscrita ao polígono da base formam um triângulo retângulo, que pode
ser definido pela fórmula (a,)2 = R2 + H2.

Prisma circunscrito a um cone

É importante observar que:
•         o círculo da base do cone está inscrito no polígono da base do prisma;
•         o raio da base do cone é igual ao raio do círculo inscrito na base do prisma (apótema);
•         as alturas do prisma e do cone apresentam a mesma medida.

Esferas

A esfera é um sólido geométrico perfeitamente si­métrico em que todos os pontos da superfície são equi­distantes de um outro, fixo e interior, chamado de centro.

Cubo circunscrito à esfera

É importante observar que:
•         a esfera tangencia todas as faces do cubo no cen­tro de cada uma delas;
•         o raio da esfera é igual ao raio do círculo inscri­to na base do cubo (apótema);
•         a aresta do cubo é igual ao diâmetro da esfera.

É importante observar que:
•         a esfera e os planos das bases são tangentes ao centro dos círculos das bases;
•         a circunferência do círculo máximo da esfera é paralelo aos planos das bases e toca a superfície lateral do cilindro, portanto os raios da esfera e os das bases do cilindro apresentam a mesma medida;
•         a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfe­ra, então o cilindro é equilátero.

Cilindro inscrito em uma esfera – Cubo inscrito em urna esfera

É importante observar que:
•         todos os vértices do cubo tocam a esfera;
•         a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera.

O diâmetro da esfera, o diâmetro do círculo da base e a altura do cilindro formam um triângulo retângulo. Assim: (2R)2 = (2r)2 + H2.

Esfera e cone – Cone circunscrito em uma esfera

É importante observar que:
•         o plano da base da pirâmide tangencia o círculo da base do cilindro;
•         o círculo da base do cilindro está circunscrito ao polígono da base da pirâmide;
•         as alturas do cilindro e da pirâmide apresentam a mesma medida;
•         a altura, a aresta lateral da pirâmide e o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base formam um triângulo retângulo. Desse modo, (a.)2 = R2 + H2

Cilindro e cone – Cilindro circunscrito a um cone – Cone inscrito em uma esfera

Com base nessas imagens, por semelhança de triân­gulos, podem-se obter as seguintes relações:

Cilindros
Um cilindro é um sólido geométrico com superfície curva e que apresenta duas bases que possuem a forma de círculos e o mesmo diâmetro ao longo de todo o com­primento.

Cilindro e pirâmide

É importante observar que:
•         o cilindro e o cone possuem o mesmo círculo nas bases;
•         os raios do cilindro e do cone apresentam a mes­ma medida;
•         as alturas do cilindro e do cone apresentam a mesma medida.

Assim:
g2 = r2 + H2 Cilindro inscrito em um cone

Cilindro circunscrito a uma pirâmide

É possível perceber nessas imagens a existência de diversas relações por semelhança de triângulos.