Sucessão e Progressão Aritmética: Classificação e Características


Sucessão

Sucessão ou sequência é um conjunto de números ordenados sucessivamente, de tal forma que podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante. Se representarmos por a{ o 1°. elemento, por a2 o 2°. elemento e assim sucessivamente, isto é, se representar­mos por a o enésimo elemento, teremos a sucessão representada por (a,, a2, a3, … , an, …) se a sucessão for infinita; (a,, a2, a3, … , an) se a sucessão for finita.

Sucessão e Progressão Aritmética

Termo geral da sucessão

É de interesse estudar sequências formadas segundo critérios que nos possibilitem determinar seus termos. Esses critérios nos permitem obter qualquer termo da sucessão por meio de uma expressão literal envol­vendo a variável n. São importantes, pela frequência com que aparecem, as sucessões aritméticas e as geométricas, também cha­madas de progressões, cujo estudo empreenderemos a seguir.

Progressão aritmética

Progressão aritmética (P.A.) é toda sequência tal que, a partir do 2? termo, a diferença entre um número e o precedente é uma constante r, denominada razão. Representação: (a,, a2, a3, … , an, …), em que r = a2 – a, = a3 – a2 = …

Classificação

Quanto ao número de termos, a P.A. pode ser
•         limitada: (2, 5, 8, 11, 14) -» 5 termos
•         ilimitada: (2, 4, 6, 8, 10, …) -> infinitos ter­mos

Quanto à razão, a P.A. pode ser
•         crescente: r > O, cada termo é maior que o anterior: (3, 6, 9, 12, …) ->r = 6-3 = 3>0
•         estacionária: r = O, todos os termos são iguais: (3, 3, 3, 3, …) -» r = 3 – 3 = O
•         decrescente: r < O, cada termo é menor que o anterior: (10, 8, 6, 4, …) ->r=8-10 = -2n = 6 (par)

2º Em toda P.A. com número ímpar de termos, o seu termo médio é a média aritmética dos extremos.

n = 2 -> a2 = a,+ Ir n = 3 -> a3 = at + 2r n = 4 -> a4 = a, + 3r n = 6 -> af = aj + 5r

I.    Exercício resolvido

Calcule o primeiro termo de uma P.A., sendo a» = 252 e r = – 4.

Em an = at + (n – l)r, para n = 18,
(3, 5, 7, 9, 11) -»n = 5 (ímpar)
i termo médio
7 _ 1+U
2

II.    Exercício resolvido

Determine x, de modo que (x, 2x + l, 5x + 7) seja uma P.A. O termo médio é (2x + 1) e n = 3. Então

Substituindo os valores dados
252 = a, + 17 • (-4) 252 + 68 = aj
.-. a, = 320

II.  Exercício resolvido

Determine a P.A. cujo termo geral é an = 3n + 2.
n= l
a, = 3 • l + 2 =
n = 2->a=3-2 + 2 =
4x + 2 = 6x + 7 /.   x = -y

3º Três termos consecutivos de uma P.A. podem ser expressos por (… , x – r, x, x + r, …) em que r é a razão.

Soma dos termos de uma P.A.

Em (a , a , a,,      , a ), a soma indicada de seus termos é denominada série aritmética. Assim, Sn – a,+ a2+ a3+ … + an. Logo, a P.A. é (5, 8, 11, …), em que a razão r é 3.

Formulário de P.A.

•         (a,, a2, a3, …, ak, …, an, …) razão = a2 – aj = a3 – a2 = r
•         Termo geral da P.A. an = aj + (n – l)r —> em função do 1° termo an = ak + (n – k)r -» em função do termo qual­quer ak
•         Três termos consecutivos em P.A. (…, x – r, x, x + r, …)
•         Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Assim:

_(a!+a4)4 í>4-        2
_(a1+a7)7 ~^~

I.    Exercício resolvido

Determinar a soma dos múltiplos inteiros de 2, com­preendidos entre 3 e 101. O conjunto dos múltiplos inteiros, não-negativos, de 2 é M(2) = (O, 2, 4, 6, 8, 10, …} Para o problema em questão, devemos considerar a P.A. (4, 6, 8, …, 100)
Como an = al + (n – l)r, então 100 = 4″+ (n – 1)2 100-4 .
n = 49

II.  Exercício resolvido

Obter a P.A. em que a soma dos n primeiros termos
é S  = n2+ 2n, Vn Í N*.

Em Sn = n2 + 2n, para
n= 1°=> S, = l2 + 2 • l = 3
n = 2 =» S, = 22+ 2-2-8