Trigonometria nos Triângulos: Teorema de Pitágoras e Lei dos Senos e Cossenos


A Trigonometria (do grego tri = três, gono = ângulo e metria = medida) é um dos ramos da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângu­los de um triângulo e, como a maioria dos assuntos, ori­ginou-se na Antiguidade, época na qual os sábios busca­vam meios que os ajudassem na resolução de problemas, principalmente relacionados ao cálculo de distâncias, na­vegação e astronomia. Atualmente, a Trigonometria tem aplicação nos mais diversos segmentos da sociedade.

Trigonometria nos Triângulos

Dentre esses sábios dos tempos antigos, dois serão destacados neste volume: Tales de Mileto (625 a. C.-547 a. C. aproximadamente), chamado frequentemente de “o primeiro matemático verdadeiro” e, por acordo, o primeiro dos sete sábios; Hiparco de Ni-céia (180 a. C.-125 a. C. aproximadamente), que ficou conhecido como “o pai da Trigonometria”.

Conta a tradição que Tales utilizou seus conhecimen­tos matemáticos associados aos seus conceitos em Astro­nomia e, em 585 a. C., previu que haveria um eclipse so­lar naquele ano. Antes de dar início ao estudo da Trigonometria nos triângulos, vale relembrar alguns tópicos importantes, apresentados a seguir.

Teorema Angular de Tales

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos vale 180°.
a + p + 0 = 180°

Triângulo retângulo

Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto (igual a 90°). Como a soma dos três ângulos deve ser igual a 180°, os outros dois ângulos são agudos (menores que 90°) e complementares (somam 90°). Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo de 90° é a hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo de 90° são os catetos.

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medi­das dos catetos. Vamos utilizar como exemplo o caso “mais famoso” do triângulo retângulo, em que a hipotenusa mede 5 e os catetos medem 3 e 4. Este triângulo costuma ser chama­do de pitagórico.

52 = 42 + 32 25 = 16 + 9

Trigonometria no triângulo retângulo

A Trigonometria surgiu com os triângulos retângulos, portanto considere duas semi-retas – uma horizontal e outra inclinada – de mesma origem no ponto C, for­mando um ângulo a. Sobre a semi-reta inclinada, mar­ca-se um ponto B e, a partir dele, traça-se uma perpen­dicular à semi-reta horizontal, determinando um ponto A. Utilizando o mesmo princípio anterior, marcam-se os outros pontos D, E, F, G,… Utilizando a semelhança entre os triângulos que se originaram, podem ser estabelecidas as seguintes propor­ções:

As constantes k,, k2 e k3 são denominadas razões trigonométricas do ângulo a e determinam o seno, o cosseno e a tangente do ângulo.

Lei dos senos

Em um triângulo qualquer, a razão (divisão) entre o valor da medida de um lado pelo valor do seno do ângu­lo oposto a ele é sempre constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

sen A    sen B    sen C

Lei dos cossenos

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, subtraído do dobro do produto des­ses dois outros lados pelo cosseno do ângulo oposto ao lado inicial.
a2 = b2 + c2 – 2 • b • c • cos Â
b2 = a2 + c2 – 2 •
c2 = a2 + b2 – 2 • a • b • cos ô

Trigonometria em um triângulo qualquer

Ao se deparar com uma questão envolvendo triân­gulos, você deve primeiro observar se há um ângulo de 90°, o que possibilita a utilização dos conceitos anterio­res. No caso de esse ângulo não existir, é necessário uti­lizar as chamadas leis dos senos e dos cossenos, que podem ser aplicadas a qualquer tipo de triângulo.

Note que é uma lei única, possibilitando apenas a variação dos lados e, consequentemente, do ângulo do triângulo dado. Cuide para não confundir com a lei utilizada pela Física no estudo de vetores. Lá, o sinal que antecede o produto é positivo. Na maioria das vezes, a lei dos senos é utilizada quando são fornecidas as medidas de dois ângulos, ao passo que a lei dos cossenos é utilizada quando é forne­cida a medida de apenas um ângulo.

Arcos notáveis

Por causa da grande utilização de seus valores em problemas relacionados à Trigonometria, alguns arcos são chamados de notáveis. Os valores dos seus senos, cossenos e tangentes aparecem dispostos na tabela seguinte.