Probabilidade em Genética: Eventos independentes, Mutuamente exclusivos e Binômio de Newton


As probabilidades em genética

Chama-se probabilidade (P) a proporção de determinado acontecimento (X) em um total de eventos. Ela é dada pelo quociente entre os resultados favoráveis (R) e o número de eventos possíveis e igualmente prováveis (n); n° de resultados favoráveis; proporção do acontecimento X; n° de eventos possíveis e prováveis; etc. Assim, se quisermos saber a probabilidade de nascer uma criança de sexo masculino, devemos considerar que nesse caso existem dois resultados possíveis e igualmente prováveis: a criança poderá ser do sexo masculino ou feminino.

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Como exemplo, vamos calcular a probabilidade de se obter l ou 5 num único lançamento de um dado cujas faces são numeradas de l a 6. Para isso é importante notar que os eventos l e 5 são mutuamente exclusivos: num único lançamento do dado, essas faces não podem sair ao mesmo tempo, isto é, ou sai l, ou sai 5. Nesse caso, sabendo-se que P0) = – e P(5) = – , a probabilidade de ocorrência de l ou 5 será dada pela soma das probabilidades de cada um dos eventos em separado.

Eventos independentes

Chama-se independentes os eventos que podem ocorrer simultaneamente, a ocorrência de um não impedindo que os outros aconteçam. O cálculo da probabilidade de ocorrência de eventos independentes é feito pelo uso da regra do produto (ou regra de “e”), que afirma: A probabilidade de ocorrerem simultaneamente dois ou mais eventos independentes, isto é, a ocorrência de um e do outro, é dada pelo produto das probabilidades de cada evento em separado.
 
Note-se que os valores possíveis para a probabilidade variam entre O (condição em que um evento nunca ocorre) e l (quando ele sempre ocorre). De relevância é também o fato de que, ao calcularmos as probabilidades, consideramos que os eventos possíveis são igualmente prováveis. Assim, ao afirmarmos que a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino é —, estamos admitindo que os dois resultados possíveis – criança de sexo masculino e criança de sexo feminino – são igualmente prováveis. Isso significa que o fato de nascer menino não é preponderante sobre o de nascer menina, e vice-versa.

Eventos mutuamente exclusivos

Chama-se eventos mutuamente exclusivos aqueles em que a ocorrência de um implica a não-ocorrência dos outros, ou seja, se um acontece, os outros não podem acontecer ao mesmo tempo. O cálculo da probabilidade de ocorrência desses eventos é feito usando-se a regra da soma (ou regra do “ou”), que diz: A probabilidade de ocorrerem dois ou mais eventos mutuamente exclusivos, isto é, a ocorrência de um ou de outro evento, é dada pela adição (soma) das probabilidades de cada evento em separado: Como exemplo, vamos considerar o lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado a calcular a probabilidade de ocorrência dos eventos coroa e 3. Nesse caso, temos dois eventos independentes, pois o fato de sair coroa no lançamento da moeda em nada interfere com o de sair 3 no lançamento do dado.

Vamos considerar o binómio (p + q)n, onde:

•            p representa a probabilidade de ocorrência de um evento;
•            q, a probabilidade de ocorrência de um outro evento;
•            n, o tamanho do grupo envolvido.

A expansão desse binómio é o meio usado quando se consideram combinações em grupo de eventos independentes, uma situação frequente em genética. Um exemplo de combinações em grupos de eventos independentes são irmandades nas quais se deseja saber a probabilidade de nascimento de duas, três ou mais crianças, levando-se em consideração o seu sexo.

Assim, por exemplo, como se faria o cálculo da probabilidade de um casal vir a ter duas crianças, sendo uma delas um menino e a outra uma menina?
Nesse caso, o grupo envolvido é de duas crianças, ou seja, n = 2. Como sabemos, a probabilidade de nascer uma criança de sexo masculino é igual à de nascer uma de sexo feminino, ou seja, — em cada caso. Chamando p a probabilidade de nascer uma criança de sexo masculino e q, a de nascer uma criança de sexo feminino.

A análise de uma irmandade de duas crianças, considerando o sexo e a ordem de nascimento, mostra que os indivíduos que a formam (homens e mulheres) distribuem-se de 22 = 4 maneiras diferentes. Em cada membro do binómio, os expoentes  de p e q indicam o número de indivíduos de sexo masculino e feminino, respectivamente. Já os coeficientes informam o número de combinações possíveis quando se leva em conta a ordem de ocorrência dos eventos. O quadro a seguir ilustra esse significado.

A partir desses dados chega-se à conclusão de que a probabilidade de um casal ter duas crianças, sendo uma do sexo masculino e outra de sexo feminino, é dada por 2pq. A probabilidade de um casal vir a ter duas crianças de sexos diferentes é 50%.

O binômio de Newton

O binômio (p + q)n é chamado de binômio de Newton. Sua utilização permite, como vimos, o cálculo de probabilidade de combinações em grupo de eventos independentes. O valor de n (tamanho do grupo, em geral, o número de descendentes), porém, não é fixo. Daí a necessidade de saber como expandir o binômio. Para isso, e levando-se em consideração os possíveis valores de n (l, 2, 3, 4, …), é necessária a obtenção dos coeficientes de cada um dos membros que compõem o binômio. Esses coeficientes são conseguidos utilizando-se o triângulo de Pascal.

A observação do triângulo mostra que cada valor é obtido pela soma dos dois valores localizados acima dele, à esquerda e à direita. Para exemplificar, vamos considerar o caso de uma irmandade de três crianças (n = 3). Convencionando-se que No triângulo, cada linha horizontal representa os valores dos coeficientes do binómio expandido para um dado valor de n. Assim: para n = 3, os coeficientes são l, 3, 3 e 1; para n = 4, os valores são l, 4, 6, 4 e 1.

A probabilidade condicional

Em alguns problemas de genética, podem aparecer casos em que se pede para calcular a probabilidade de um determinado evento sobre o qual já possuímos uma informação parcial.

Você poderia ficar tentado, agora, em responder: “a probabilidade de o filho ser heterozigoto é de Vz”. No entanto, você tem uma informação importante a respeito desse filho: você sabe, com certeza, porque é um dado do problema, que ele não é albino. Assim, dos 4 eventos igualmente possíveis (AÃ, Aã, Aã, e aã), um deles seguramente não ocorreu (aã). Isso permite dizer que a probabilidade de o filho ser heterozigoto é de 2/3.
Em outras palavras, como sabemos que o filho não é albino, a probabilidade de ele ser heterozigoto é de 2/3, e não de 2/4. Se o filho ainda não tivesse nascido, e não soubéssemos nada acerca de sua pigmentação, aí sim a probabilidade de ele ser heterozigoto seria de 2/4.

Esse casal tem pigmentação normal, porém é heterozigoto para o albinismo. Seu filho também tem pigmentação normal. Qual é a probabilidade de que esse filho seja heterozigoto? Resolvamos. Sendo os pais heterozigotos para o albinismo, cada um deles produz dois tipos de gametas, com a mesma probabilidade: Vz A e Vz a. Assim sendo, há 4 possíveis encontros gaméticos: AÃ, Aã, Aã, e aã