Geometria do táxi


A Geometria Euclidiana consiste em uma teoria criada por Euclides de Alexandria, que foi um professor e matemático que viveu cerca de 300 anos antes de Cristo. Em sua teoria ele definiu que uma reta é um segmento dado por dois pontos. Para qualquer definição fora desta, podemos dizer que se trata de uma Geometria não Euclidiana. A Geometria Euclidiana funciona perfeitamente para superfície planas, quando podemos facilmente traçar retas a partir de dois pontos dados. Mas em determinadas situações isso não é possível. Entre essas situações, podemos destacar a Geometria do Táxi, que é uma Geometria não Euclidiana.
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O que aprenderei neste artigo:

– conceito de geometria do táxi;
– suas diferenças para a geometria Euclidiana;
– exemplos práticos do uso da geometria do táxi;
– fórmula utilizada para calcular a geometria do táxi;
– quem foi o criador deste conceito.

A geometria do Táxi é também conhecida pelo nome de geometria pombalina. Esta teoria consegue responder perguntas sobre qual a menor distância da sua casa até o seu trabalho, por exemplo. É exatamente o que faz um GPS. Voltando ao exemplo de Euclides, é possível sim traçar a menor distância da sua casa até o seu trabalho utilizando dois pontos, mas isso não se aplica na vida real. É como calcular o trajeto feito por um pássaro voando, pois ele irá sempre em linha reta, sem obstáculos. Agora se você pegar um táxi, esta distância não será a mesma, pois existem curvas, trajetos e atalhos. Daí veio a origem do seu nome, geometria do táxi.

Quando temos um determinado trajeto e vários caminhos a percorrer do ponto 1 ao ponto 2, a menor distância entre elas é chamada de taxi-distância. Em definições matemáticas, se temos dois pontos (P1 e P2) e cada um deles possui as coordenadas x e y, para calcular a menor distância entre os pontos P1 e P2, basta fazer a subtração dos pontos x1 e x2, depois a subtração dos pontos y1 e y2 e somar os módulos dos dois resultados. A expressão a ser calculada é |x1 – x2| + |y1 – y2|.

Quando falamos de geometria do táxi, estamos fugindo daquele velho e conhecido conceito dado por Euclides de que a linha reta é a menor distância entre dois pontos. Isso funciona na teoria e em uma superfície plana, mas, na prática, como no caso do planeta Terra, isso não funciona. Neste caso, a definição de distância pode ser dada como o menor comprimento entre as possíveis trajetórias que poderão ser realizadas.

Pensando na geometria euclidiana, como já vimos anteriormente, a menor distância seria uma reta entre dois pontos. Essa reta é como se fosse a hipotenusa de um triângulo retângulo. Mas este caminho não é possível ser realizado na prática, pois há curvas e caminhos que não podemos passar, como paredes ou vias de apenas uma mão. Os caminhos possíveis, dentro desse triângulo retângulo, seriam os catetos, que ao se unirem, formarão um ângulo reto.

Se não estivéssemos pensando na métrica do táxi, poderíamos simplesmente calcular a distância entre dois pontos utilizando o teorema de Pitágoras, que diz que o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos. Mas e na vida real, como poderíamos calcular a menor distância, quando o ponto A e ponto B não é uma simples reta? Agora não temos mais linha reta e precisaremos contornar os quarteirões da rua e seus respectivos obstáculos. Para realizar este cálculo devemos utilizar a função já citada anteriormente. Ao realizar este cálculo, você perceberá que a distância da geometria do táxi foi maior, mesmo que esta diferença seja pequena, do que a geometria euclidiana. E esta é uma propriedade muito importante e que você precisará sempre lembrar: a distância euclidiana será sempre menor que a distância do táxi.

Exemplo prático:

Para entender este exemplo, você precisará imaginar um plano cartesiano. Para facilitar isso sugerimos que você desenhe em uma folha milimetrada os respectivos pontos. Digamos que você more no ponto A (3,5) e que trabalhe no ponto B (18,5). Como calcular a distância destes pontos utilizando a geometria do táxi?

Neste caso precisaremos aplicar a fórmula passada anteriormente: |x1 – x2| + |y1 – y2|. Então vamos calcular. O ponto x1 – x2 é igual a 3-18, que é igual a -15. O ponto y1 – y2 é igual a 5 – 10 que é igual a -5. Agora basta somar os módulos destes resultados: 15 + 5. Logo, a distância utilizando a métrica do táxi é igual a 20.

O criador da Geometria do Táxi

A Geometria do Táxi foi criada por Hermann Minkowski, um matemático alemão que viveu entre os anos de 1864 e 1909. Minkowski estudou matemática na Universidade de Königsberg e ganhou diversos prêmios na sua área. O matemático lecionou ainda nas universidades de Bonn, Göttingen, Königsberg e Zurique, sendo que em Zurique foi professor de ninguém menos que Albert Einstein.