Mecânica Lagrangeana

De tempos em tempos, diversos campos da ciência são revisitados por competentes estudiosos que buscam avaliar e entender melhor as teorias propostas. Isso faz parte do desenvolvimento natural da ciência, já que somente assim ela é capaz de progredir. É necessário dizer que mesmo cientistas consagrados e autores de teorias aceitas universalmente têm suas teorias revisitadas. Este é o caso de Isaac Newton.

Como todos sabemos, Newton foi um grande físico e matemático, responsável pelas famosas “Três Leis de Newton”, relativas ao estudo do movimento de corpos. Somente para relembrar, essas leis são: o princípio da inércia, o princípio fundamental da dinâmica e o princípio da ação e reação. Todas essas leis fazem parte dos estudos da dinâmica, um ramo da física. E é aqui que o inventor do objeto de estudo foco deste artigo, a macânica lagrangeana, se insere.

Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) foi matemático e físico-matemático italiano – apesar de muitos os considerarem francês, devido à similaridade do nome à língua. Considerado com um dos maiores pensados do século XVII. Mesmo tendo uma extensa bibliografia, sua obra prima é sem dúvidas Mecânica Analítica (Mécanique Analytique), um livro extremamente abrangente, que cobre diversos ramos da matemática.

Segundo estudiosos, o principal objetivo do matemático ia muito além da adição de um cálculo à teoria de Newton, mas sim fazer uma retomada epistemológica dos fundamentos da teoria para chegar ao porquê e como do funcionamento do cálculo tendo em vista uma explicação mais precisa. É necessário salientar que Lagrange era bastante pragmático em relação à ciência como um todo, ou seja, uma explicação que se baseia em intuição ou demonstração não funcionava para ele. Era necessário que esta explicação fosse baseada em cálculo. Foi justamente esta explicação que deu origem à mecânica lagrangeana, como ficará mais claro na sequência.

A teoria

Antes de mais nada, podemos dizer que a mecânica aqui estudada é considerada como uma versão mais abstrata da mecânica newtoniana, pois ela parte justamente do estudo desta última, especialmente no que diz respeito às proposições energéticas de Newton, incluindo a energia potencial e energética dos sistemas newtonianos. Antes de avançarmos, vale lembrar que a mecânica clássica falha no que diz respeito aos campos gravitacionais intensos, em dimensões microscópicas e em grandes velocidades.

Assim, a mecânica em tela é uma espécie de aprimoramento da mecânica clássica, que combina a conservação de energia com a conservação do movimento linear. Com o uso do cálculo, é possível obter diversas variáveis mecânicas de determinado sistema. Dito de outra maneira, neste tipo de mecânica a trajetória de um sistema de partículas é obtido por meio da resolução das chamadas “equações de Lagrange”, que utiliza métodos derivacionais.

Dentre as equações de Lagrange, temos dois tipos. As do primeiro tipo são aquelas que tratam das restrições como equações adicionais e que, para tanto, utilizam os multiplicadores de Lagrange, isto é, um método que permite encontrar máximos e mínimos de determinada função ou de determinadas variáveis submetidas a uma ou mais restrição. Dito de outra maneira, este tipo de equação serve para encontrar pontos fixos utilizando os multiplicadores de Lagrange.

Já as equações de Lagrange de segundo tipo são aquelas que usam as restrições de maneira direta na escolha das coordenadas generalizadas. Coordenadas generalizadas são parâmetros numéricos utilizados para determinar a configuração de um sistema mecânico ou mecanismo com número finito de graus de liberdade (em estatística, definido como a dimensão da amostra menos o número de parâmetros estatísticos que serão avaliados na amostragem). Essas equações são equações de movimento na dinâmica. Disso tudo, podemos retirar algumas deduções e definições de dinâmica encontradas na concepção de Lagrange. São elas:

– Trabalho e deslocamentos virtuais, segundo o qual um sistema partículas, em que cada um está sob a influência de um força aplicada (O, P, Q) e, devido a uma perturbação, as partícula sofrem um deslocamento virtual (δo, δp, δq), o sistema só estará em equilíbrio quando Oδo + Pδp + Qδq… = 0 for satisfeita;

– Decomposição de forças: aqui, a proposição é que para cada elemento de massa m de determinado sistema, a força paralela é definida de em relação ao eixo das coordenadas cartesianas utilizadas, aos quais o movimento ocorre;

– Utilização do princípio de Albert: quando relaciona-se determinado elemento de massa m sob a atuação de certa força, pode-se concluir que a soma dos momentos das forças é necessariamente igual a soma das forças atuantes (ou forças acelerativas) que atuam em cada elemento do sistema.

Neste artigo, não coube explicitar cada uma das equações de Lagrange. Por hora, basta dizer que elas são bastante completas e intuitivas, abarcando uma série de conceitos. Por mais que possa parecer algo extremamente complicado à primeira vista, a mecânica lagrangeana permite encontra soluções mais imediatas, sem necessidade de considerar todas as forças agindo sobre o sistema.