Área do Triângulo


Podemos arriscar que estamos aqui iniciando o assunto considerado o mais importante de toda a geometria plana, ou seja, o estudo dos triângulos. O triângulo é uma figura básica e suas consequências em toda a geometria são definitivas e importantes.

Além disso, um triângulo é considerado a figura plana mais simples existente na geometria, além é claro de possuir diversas aplicações em nossa sociedade. É muito comum, observar que os engenheiros utilizam essa forma geométrica em construções, a fim de elas sejam mais protegidas.

Mas o que é um triângulo? Considere três pontos distintos não-colineares, ou seja, que não estejam na mesma reta suporte, A, B e C. Os segmentos formados AB, AC e BC são chamados de lados do triângulo e da união desses três segmentos, temos o triângulo.

Triângulo

Um triângulo qualquer possui alguns elementos básicos. Existem duas maneiras de se classificar os triângulos, a primeira delas é o lado.

Triângulo Escaleno: 3 lados diferentes

Triângulo Isósceles: 2 lados iguais

Triângulo Equilátero: 3 lados iguais

A segunda maneira de se classificar os triângulos é quanto aos ângulos:

Triângulo Retângulo: um ângulo reto

Triângulo Acutângulo: três ângulos agudos

Triângulo Obtângulo: um ângulo obtuso

Chamamos de ceviana de um triângulo, qualquer segmento que une o vértice até um ponto do lado oposto, ou seja, do prolongamento do lado. Veja abaixo as principais cevianas de um triângulo:

Altura: a ceviana é perpendicular ao lado do triângulo.

Mediana: ceviana que une um vértice até o ponto médio do lado oposto.

Bissetriz interna: ceviana que pertence à bissetriz do ângulo interno do triângulo,

Bissetriz externa: ceviana que pertence à bissetriz do ângulo externo do triângulo.

Desigualdade triangular

Não podemos indiscriminadamente montar um triangulo com três segmentos quaisquer. Para entender a condição de existência de um triangulo, veja os postulados.

No postulado de distância mínima: a menor distância entre dois pontos é a do segmento de reta que une os pontos.

Triângulos congruentes são triângulos iguais, ou seja, todos os elementos correspondentes são iguais. De acordo com a definição apresentada, para provarmos que dois triângulos são congruentes devemos demonstrar que todos os elementos correspondentes são iguais. Esse trabalho se torna impraticável. Os critérios de congruência são condições mínimas que garantem a igualdade desses triângulos.

1ª condição: LAL (lado – ângulo – lado): Este critério de congruência é um postulado. No início definimos o triângulo isósceles como sendo o triângulo que possui dois lados iguais.

2ª condição: ALA (ângulo – lado – ângulo): Dois triângulos que possuem ordenadamente um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado são congruentes.

3ª condição: LAAo (lado – ângulo adjacente – ângulo oposto)

4ª condição: LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos possuem os três lados congruentes, então ambos são congruentes.

Área do Triângulo

Estudar as áreas de figuras geométricas e de suma importância, porque promove a integração de toda a geometria plana. Muitas vezes a parte que cabe ao cálculo da área se restringe à multiplicação de duas dimensões. Por tudo isso nós não devemos encarar este estudo apenas como um formulário. Os vestibulares modernos estão aos poucos evitando a memorização de fórmulas e privilegiando o centro geométrico das áreas.

Podemos dizer que quando estudamos Geometria, sem dúvida nenhuma, o triângulo é considerado a figura mais importante, isso graças a sua grande empregabilidade e também utilidade em nosso dia a dia, como podemos observar em paisagens e em construções feitas pelos engenheiros.

Vamos demonstrar aqui, a maneira como calcular e identificar a área de um triângulo. No retângulo abaixo, traçamos uma diagonal em um de seus lados, o que fez com que ele passasse a ser dividido em duas partes iguais.

B= base

H= altura

No caso do exemplo acima, veja que a área total do retângulo é dada através da expressão de A = B X h. Assim, considerando que ao traçar a reta na diagonal, o retângulo se transformou em dois triângulos iguais, onde a área de cada um deles é igual a metade de toda a área do retângulo, o que resulta na expressão matemática abaixo:

Para que possamos utilizar esta expressão citada acima, a altura do triângulo deve possuir uma reta perpendicular com relação à sua base, formando assim um ângulo de 90º. No caso do cálculo de um triângulo equilátero, ou seja, com dois lados iguais, considere os lados com 4 cm e a base com 2 centímetros. Para se calcular a altura desse triângulo, devemos utilizar o Teorema de Pitágoras.

42 = h2 + 22
16 = h2 + 4
16 – 4 = h2
12 = h2
h = v12
h = 2v3 cm