Cálculo das razões trigonométricas
O aparecimento da trigonometria está relacionado com a instância do homem associar ângulos a distâncias inacessíveis. A ferramenta de ajuda usada para o avanço da trigonometria é o triangulo, no qual as relações específicas entre os ângulos e a medida dos seus lados foram definidas. Essa pesquisa foi chamada de razões trigonométricas conhecidas como seno, cosseno e tangente.
Essas razões são usadas no triangulo retângulo, aquele que apresenta um ângulo retângulo de 90°.
No triangulo os seus lados recebem nomenclaturas específicas, que são usadas na elaboração das razões trigonométricas. Em um triangulo de lados A, B e C, onde B é o ângulo de 90°, os lados A e C são chamados de catetos e o lado contrário ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. É possível afirmar que a hipotenusa é o lado com o comprimento maior do triangulo retângulo.
Se nomearmos os lados de acordo com o ângulo C obtém-se que o cateto C é o oposto e o cateto A é o adjacente. Já se a referência for o ângulo A, o cateto oposto será A e o cateto adjacente será C.
Dessa maneira, a determinação do seno e cosseno seria a divisão entre o cateto oposto e o adjacente com a hipotenusa, e a tangente, por sua vez, a divisão entre o seno e o cosseno ou entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
– Ângulo A
sen A = a/ b
cos A = c/ b
tg A = a/ c
– Ângulo C
sen C = c/ b
cos C = a/ b
tg C = c/ a
Os eventos que envolvem as razões trigonométricas aparecem por meio de fatos problemas e estão frequentemente ligadas a um triangulo retângulo. Os critérios resolutivos abrangendo padrões trigonométricos necessitam de um conhecimento sobre as razões trigonométricas, onde são usadas as relações seno, cosseno e tangente.
Ex:
Tendo que sen 28° = 0,46; cos 28° = 0,88 e tg 28° = 0,53 encontre o valor de x:
1) Em um triangulo retângulo com ângulo de 28°, o lado x é o cateto adjacente e a sua hipotenusa mede 8 cm. Qual o valor de x?
cos 28° = x/8
0,88 = x/8
x = 0,88. 8
x = 7,04 cm
2) Em um triangulo o lado x é o cateto oposto com relação ao ângulo de 28°, e o cateto adjacente mede 20 m. Qual o valor de x?
tg 28° = x/20
0,53 = x/20
x = 0,53. 20
x = 10,6 m
3) O lado indeterminado é oposto ao ângulo de 28° e mede 30 cm. Qual o valor de x?
sen 28° = x/30
0,46 = x/30
x = 0,46. 30
x = 13,8 cm
4) Um menino utilizou toda a linha que possuía em seu carretel para soltar uma pipa. Ao todo, a linha tinha 100 m. O ângulo formado da linha com a horizontal mede 18°. A quantos metros de altura a pipa está? (sen 18° = 0,3090)
sen 18° = h/ 100
0,3090 = h/100
h = 0,3090. 100
h = 30,9 m
Para determinar a distancia com relação ao solo, deve-se somar a distancia da mão do menino ao solo, que pode ser considerada a 1 m:
h = 30,9 + 1
h = 31,9 m
Portanto, a pipa está localizada a uma altura de aproximadamente 31,9 m.
5) Considerando que a tangente de um ângulo é 2, determine o seno α e o cos α.
tg α = sen α/ cos α = 2
sen α = 2. cos α
Fazendo a substituição temos:
sen2 α + cos2α = 1
4 cos2 α + cos2 α = 1
Portanto,
cos2 α = 1/5
cos α = 1/ √5 = (√5)/5
Por fim,
sen α = 2 cos α = (2√5)/5
Os cálculos mostrados acima apresentam o objetivo de achar as medidas desconhecidas fazendo uma relação entre as medidas dos ângulos e dos comprimentos, sempre procurando a ajuda das relações trigonométricas presentes. Nos modelos do dia a dia, onde o desenho geométrico insinua a imagem de um triangulo retângulo, também precisam ser utilizadas as propriedades e definições das relações trigonométricas na procurar por resultados.
