Quando se avalia qualquer tipo de sistema linear, o principal auxílio para averiguar se o sistema é determinado, possível ou justamente o contrário é ver se ele possui um conjunto solução. Esse conjunto solução ajudará a ver se os sistemas lineares são possíveis de serem reduzidos ou aumentados. E para que isso funcione, é necessário fazer sua escalonação.

A escalonação é a ferramenta-chave para se chegar a um conjunto solução, se a operação tiver, e assim classificá-lo de acordo com suas características. Esse processo é bem simples e necessita que a equação seja reduzida a fim de ver a quantidade de incógnitas que essa mesma equação possui.

Dentro dessa realidade, é possível se chegar a três classificações que permitem escolher qual o melhor sistema para se trabalhar e obter um conjunto solução.

Classificações de sistemas lineares

Dentro de cada tipo, existem variedades que servem para analisar a melhor forma a se chegar ao conjunto solução. Mesmo que os tipos sejam diferentes, existe um método para se chegar a tal aspecto. Para escalonar essa equação, é preciso conferir a última linha do sistema. Essa última linha ajuda a ver se é possível escalonar a operação ou não e assim categorizá-la.

Se a última linha não tiver nenhuma correspondência com as incógnitas da equação, esse sistema é considerado incompleto.

Para cada averiguação, existem três tipos:

• SPD: é o Sistema Possível Determinado. Nessa categoria, é possível se chegar a um conjunto solução correspondente a última linha da equação com uma resposta única e não variável. Somente um conjunto solução é capaz de garantir esse resultado. Equações de 1º grau são um exemplo porque usam somente uma incógnita (3x=3, 2x=4, etc.);

• SPI: é o Sistema Possível Indeterminado. A resposta, nesse caso, é variada e podem ser obtidos vários conjuntos solução a partir de uma única equação. Embora todas sejam verdadeiras, não se consegue chegar a um valor único. Geralmente equações sem incógnita entram nessa classificação;

• SI: é o sistema impossível, que não possui igualdade e nem incógnita. Sem esses fatores, é impossível chegar a um conjunto solução.

Para cada variedade, existe uma possibilidade que o conjunto solução seja achado mesmo que se tenha mais de uma incógnita ou que a equação apresente vários resultados.

Processo escalonado

Para realizar essa ação, é necessário transpor a equação a uma incógnita menor a ponto de somente a última linha continuar com a incógnita. Essa ação determina em quais das três categorias o sistema irá se encaixar.

• Se a equação tiver somente uma incógnita, a operação se encaixar em duas categorias. Se seu coeficiente for maior que zero, a equação é uma SPD porque a resposta será única; já a equação com uma incógnita igual a zero, ela poderá ter um termo independente que também é igual a zero, uma vez que a incógnita é satisfatória à equação. Nesse caso, ela é uma SPI, com uma mesma incógnita, mas com vários resultados verdadeiros. A outra situação seria com um termo independente que não seja igual a zero, com um número que multiplicado por zero não resulte nesse valor;

• A outra possibilidade é uma igualdade verdadeira sem incógnitas, que é o SPI. Nessa situação, a equação sempre terá um coeficiente da incógnita igual e o termo independente sempre é zero;

• A última possibilidade é da equação ter uma igualdade sem incógnita e ser falsa, no caso, SI. Nessa escalonação, os coeficientes são diferentes e não se pode chegar a um resultado comum, nem que seja igual ou diferente de zero.

Alguns exemplos podem ser descritos para ver como as equações se encaixam nas três categorias.

Sistema Possível e Determinado

Com um par em ordem (2,3) e um sistema montado na seguinte equação:
x y = 5
4x – 2y = 2

O sistema é SPD porque somente esse par é dado como solução para se encaixar na equação.

Sistema Possível e Indeterminado

Nesse caso, adote uma equação nesse formato:

x – y z = 2
4x – 4y 4z = 8

Esse modelo resultaria em diversos conjuntos solução, todos verdadeiros, mas diferentes entre si. É possível fazer muitas combinações com os valores, mas não se pode determinar somente um resultado como único e verdadeiro porque todos são. (1,1,2),(1,0,1) são alguns dos valores obtidos.

Sistema Impossível

Um exemplo de SI pode ser exemplificado nesta equação:

3x – 3y = 9
3x – 3y = 15

Mesmo que se tenha uma única incógnita, ou não, não é possível chegar a um valor satisfatório uma vez que não há pares ordenados que se encaixem no sistema linear. Nessa situação, ele não poderia ser escalonado e o conjunto solução não existiria.

Através desse método, é notório que um sistema linear escalonado se mostra um auxílio para não ter que resolver toda a equação e ainda não partir para processos matemáticos ainda mais complexos para se chegar a uma resultado comum e verdadeiro. A partir dessa análise, os conjuntos solução poderão ser notados e assim classificar o sistema de acordo com os resultados que ele apresentar. Todas as informações poderão ser obtidas se esse método for usado sem precisar ter que resolver todo o problema linha por linha até chegar ao resultado final.