Conjunto dos números complexos

Os números são símbolos criados pelos humanos devido a sua necessidade de quantificar objetos e processos das suas atividades cotidianas. Primitivamente, os números tiveram a contagem como sua função inicial. No entanto, com a complexidade das relações avançando, os números tiveram que abrir espaço para novos símbolos e operações. O número zero, por exemplo, foi um símbolo inventado após uma significativa quantidade de tempo, devido à necessidade de expressar as quantidades inexistentes.

A classificação dos números acontece de acordo com suas aplicações na matemática. Para isso, foram criados conjuntos que auxiliam no entendimento de cálculos. Confira agora um pouco mais sobre a origem e função de cada conjunto.

Os números e seus conjuntos

Nas propriedades atuais, os números são divididos em conjuntos, que variam de acordo com suas possibilidades de operação. O primeiro conjunto a existir no mundo foi o de números naturais, caracterizado atualmente pela letra “N”. Como mencionamos anteriormente, os números naturais eram utilizados para contar coisas. No entanto, não demorou muito até que a utilização dos números propusesse a realização de operações. Para tornar cálculos como a subtração e a soma possíveis, o conjunto de números inteiros foi criado. Este grupo se caracteriza pela presença de números negativos e positivos, possibilitando a resolução de contas matemáticas simples. O conjunto de números inteiros é representado pela letra “Z”.

Apesar da existência do conjunto de números inteiros, a matemática continuou avançando, de modo que os grupos existentes já não satisfaziam a resolução de determinados cálculos. Para solucionar esse impasse, o conjunto de números racionais foi criado. O grupo se caracteriza por ser mais abrangente, pois atinge os números naturais e inteiros. Além de abrigar os conjuntos que já eram existentes, os números racionais criam uma nova classe de símbolos: os números decimais e os números escritos em formato fração. Os algarismos que não se enquadram nesse formato, como por exemplo, o número do pi (3,14), se classificam no conjunto de números irracionais. A principal característica desses algarismos é que eles não podem ser escritos como fração, ou seja, não se encaixam no conjunto de números racionais.

Mesmo com suas diferenças, todos os grupos listados acima pertencem ao conjunto de números reais. Este conjunto foi, por muito tempo, satisfatório aos patamares que a matemática alcançava. No entanto, com o surgimento do Teorema de Bháskara, fórmula utilizada para solucionar equações de 2º grau, matemáticos se depararam com um dilema ainda não encontrado. Vamos conhecer um pouco mais sobre o cálculo.

Conjunto dos números complexos: surgimento e aplicação

Ao utilizar a fórmula de Bháskara para selecionar uma equação de 2º grau, a presença de algarismos ainda sem uma resolução proposta levantou dúvida em relação ao conjunto de números reais. O símbolo que despertou a atenção dos matemáticos foi a presença de uma raiz negativa, que pode ser representada desta forma: √-15

Dentro do conjunto dos números reais, a resolução da operação de raiz com um número negativo não seria possível, pois, quando multiplicados por si mesmos, os algarismos negativos adquirem sinal positivo. Isto ocorre devido à regra de sinais, que institui que operações de multiplicação com dois números negativos resultam em um algarismo com sinal positivo. Assim, dentro do conjunto de algarismos reais, não seria possível alcançar uma resolução da raiz negativa, uma vez que todos os números elevados ao quadrado apresentariam um resultado positivo, sendo eles negativos ou positivos.

Com o objetivo de avançar nos cálculos matemáticos, surge o conjunto dos números complexos. O grupo foi criado pelo matemático suíço Leonhard Euler. Os números que pertencem ao grupo de algarismos complexos são as raízes negativas, que não se encaixam na classificação dos números reais. No conjunto, as raízes negativas são também designadas pela letra “i”, de modo que a fórmula adotada para a sua resolução é: i² = -1

O conjunto representado pela letra “C” conseguiu alcançar um patamar ainda não trabalhado na matemática: a resolução de raízes negativas. Acompanhe por meio da fórmula a solução de um exemplo:

Ex: √-16 = √-1*16 = √-14² = √-1 * √4²
Logo:
√-1 = i
√4² = 4
Portanto:
√-16 = 4i

Ao alcançar o novo conjunto, a matemática também alcançou um novo patamar, possibilitando a resolução de novos cálculos matemáticos. O conjunto dos números complexos não representou apenas o surgimento de um novo grupo, mas também do maior conjunto de números entre todos os outros. Apesar dos números reais englobarem os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais e irracionais, segundo a matemática, todos eles fazem parte (por meio dos números reais) do conjunto de números complexos.

O avanço que o conjunto de números complexos representa para a humanidade vai muito além da resolução de cálculos matemáticos. Desde seu surgimento, a matemática transforma aplicações práticas em teoria com o objetivo de otimizar os processos e gerar resultados precisos. Atualmente, sua aplicação está presente na medicina, engenharia, indústria, entre outros, o que possibilita uma maior qualidade de vida e segurança ao ser humano.