Conjuntos Numéricos, Subconjuntos e Operações com Conjuntos


Introdução

Assim, só é possível determinar o conjunto solução de uma equação se o conjunto universo estiver bem de­finido. Exemplo: O conjunto solução da equação x + 3 = O, sendo U = conjunto universo = {O, l, 2, 3, 4, …}, é S = 0 ou S = { }, pois x = -3 í U, apesar de (-3) + 3 = 0.

Conjuntos Numéricos

Números naturais

Números inteiros

Z= {O, ±1,±2, ±3, …}
Z* = {±1, ±2, ±3, …} (exclui o zero)
Z+={0, 1,2,3,…}
—^conjunto dos números inteiros não-negativos Z_= {O,-l,-2,-3, …}
—^conjunto dos números inteiros não-positivos.

Números racionais

São números da forma ^ com n e Z  e d e Z*. São números racionais:
•j = 0,333… (dízima periódica, de período igual a 3); 10 -2 = -5.

Números irracionais

São os números reais com infinitas casas decimais, sem repetição periódica. O conjunto dos irracionais é representado por R – Q. São números irracionais:
V3 = 1,7320508…
e = 2,7182818… (base dos logaritmos neperianos)
VI – 2,236068…

Números complexos

São números da forma a + bi, sendo a e b reais e i = V-l• O conjunto dos complexos é representado por C. São números complexos:
-2+5i      (a = -2eb = 5)
3 + Oi     (a = 3 e b = 0)
0 + i      (a = O e b = 1)
O + Oi     (a = O e b = 0)

Números reais

Número real é todo número que pode ser escrito na forma decimal, com ou sem repetição periódica. Divide-se em racional e irracional. São números reais:
^2 ~ 1,4142136… (sem repetição periódica)
T = 0,6666666…   (com repetição periódica)
Tl = 3,1415927…    (sem repetição periódica)

Podemos observar, pelo Diagrama de Venn, que exis­tem conjuntos “dentro” de outros conjuntos, isto é, con­juntos que são subconjuntos de outros.

Subconjuntos

Dizemos que B é um subconjunto de A e escreve­mos B c A se, e somente se, todo elemento de B for também elemento de A.
Notação dos subconjuntos

B c A; lê-se:

B está contido em A; B é subconjunto de A; B é parte de A.

A (Z B; lê-se: A não está contido em B.
A z> B; lê-se: A contém B.
B 3> A; lê-se: B não contém A.
{2,3} d {1,2,3,4}
{1,2,3,4} => {2,3}
{l, 5} et {1,2,6,7}
{1,2,6,7,} 2 {1,5}

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {l, 2, 3}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5, 6}.

Atenção

a e {a, b, c} {a} c {a, b, c}

Propriedades dos subconjuntos

lº Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é, A c A.
2º O conjunto vazio é subconjunto de qualquer ou­tro conjunto, isto é, 0 c A.

Operações com conjuntos

Sendo A e B conjuntos quaisquer, vamos definir al­gumas operações com A e B.

União de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, denominamos união desse conjuntos, e escreve-se A u B, o conjunto consti­tuído pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

AuB={x/xe Aoux€ B}

Intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, denomina-se intersec­ção desses conjuntos e escreve-se A n B o conjunto cons­tituído pelos elementos comuns aos dois conjuntos.

AnB={x/xeAexe B}

Diferença entre conjuntos

Em dois conjuntos A e B, denominamos diferen­ça de A e B aquele formado por aquilo que está em A que não está em B. A-B={x/xeAex£B}. Exemplo:
Dados os conjuntos A= {l, 2, 3}, B = {l, 2, 3, 4, 5} e  C = {4, 5, 6}, então
B n C = {1, 2, 3, 4, 5} n = {4, 5, 6}= {4, 5}

Exemplo: Dados os conjuntos A = {O, l, 2, 3} e B = {O, 1,5,6}, então
A n B = {1, 2, 3} n {4, 5, 6}= { } ou 0
A – B = {O, 1, 2, 3} – {0,1, 5, 6} = {2,3}
B – A = {O, 1, 5, 6} – {O, 1, 2, 3} = {5, 6}

Note que, de um modo geral, A – B * B – A.

Complementar de um conjunto

Se B c A, então definimos o complementar de B em relação a A como sendo (A – B). Em notação matemática Se B c A, então CAB = A – B.