Distância entre Dois Pontos


Os conhecimentos em Geometria Analítica proporcionaram a ligação entre a Geometria e a Álgebra, envolvendo circunstâncias em que são inclusos a reta, ponto e formas espaciais. Um significado simples de Geometria deve ser usado na Geometria Analítica, com o propósito de determinar o espaço entre dois pontos: “entre dois pontos corta somente uma reta”.

As associações são designadas baseadas em um conjunto de coordenadas cartesianas, que é formado por dois apoios perpendiculares indicados.

No projeto cartesiano, todo ponto apresenta uma coordenada de posição, só é preciso detectar o ponto e analisar os valores inicialmente em comparação com o apoio horizontal, representado pela letra x, e depois em comparação com o apoio vertical, caracterizado por y.

Dois Pontos

Nesse conjunto de coordenadas é possível delimitar dois pontos e estabelecer a longitude entre eles. Sabe-se que os apoios coordenados do projeto cartesiano são ortogonais, por isso, pode-se conceber um triangulo retângulo usando as marcas A e B.

Nota-se que o triangulo produzido é retângulo de hipotenusa AB e catetos AC e BC. Se utilizarmos o Teorema de Pitágoras no triangulo é possível determinar o tamanho da hipotenusa, calculando também a longitude entre A e B. Aplicando os atributos do teorema de Pitágoras no triangulo ABC, origina-se a equação matemática encarregada da longitude entre os dois pontos em relação as suas coordenadas.

O Teorema de Pitágoras fala: “A somatória dos quadrados dos catetos é idêntica ao quadrado da hipotenusa”. Com relação ao triângulo ABC tem-se:

d2AB = AO2 + BO2

Contudo, tem-se:

AO = xB – xA e BO = yB – yA

Assim sendo, a equação fica da seguinte maneira:

d2AB = (xB – xA)2+ (yB – yA)2

E finalmente:

dAB = v(xB – xA)2+ (yB – yA)2

Observe que só é preciso realizar as desigualdades das coordenada de cada ponto e elevar ao quadrado, porém só podem ser coordenadas do apoio x com coordenadas do apoio x e da mesma forma ocorre com as coordenadas do apoio y.

Ex:

1) Determine a longitude entre os pontos R(3, -3) e S(-6, 2)?

DRS = v(-6 – 3)2+ (2 + 3)2

DRS = v(-9)2+ (5)2

DRS = v81 + 25

DRS = v106

Portanto, a longitude entre os pontos R e S é equivalente a v106 unidades.

2) Qual a longitude entre os ponto C (10, 20) e D (15, 6), dispostos no projeto de coordenadas cartesianas.

DCB = v(15 – 10)2+ (6 – 20)2

DCB = v(5)2+ (14)2

DCB = v25 + 196

DCB = v221

Portanto, os pontos C e D estão a uma distancia de v221 unidades.

3) Determine a distancia entre os pontos L (2, -3) e M (4, 5).

DLM = v(4 – 2)2+ (5 – (-3))2

DLM = v4 + 64

DLM = v68

DLM = 2v17

4) Calcule a longitude entre os ponto A(-2, 3) e B (-5, -9)

DAB = v(-5 – (-2)2+ (-9 – 3)2

DAB = v(-5 + 2)2+ (-12)2

DAB = v(-3)2+ 144

DAB = v9 + 144

DAB = v153

O que é Geometria Analítica?

A Geometria Analítica, como falado anteriormente, veio da ideia de juntar Geometria e Álgebra. Em um projeto coordenado, podem ser observados curvas, retas, círculos, isto é, todas as definições baseadas na ideia primária de ponto, afinal de contas todas esses desenhos nada mais são do que um emaranhado e pontos.

O projeto coordenado, popularmente conhecido como Plano Cartesiano, é composto por dois apoios, um na vertical, apoio Y, denominado de ornadas, e um horizontal, apoio x, conhecido como abcissas, quem compõe quatro quadrantes. Esses dois apoios se encontram em um ponto comum denominado principio do plano, ou coordenada (0, 0).

Um ponto é, dessa maneira, demonstrado por dois valores, sendo que o primeiro equivale a x e o segundo equivale a y, (x, y). Esse par ordenado, ou também coordenadas cartesianas, no projeto, designa um ponto.

A geometria analítica é o suporte de grandes ramos de pesquisas matemáticas atualmente, porém também é muito usada em exercícios não necessariamente matemáticos. Seja na física, geometria algébrica, engenharia, geometria diferencial e outras, ou ainda no dia a dia com nos satélites, mapas e no GPS, ela está evidente.

Também é possível usar o conjunto de coordenadas para localização de imóveis ou pessoas, tendo como orientação um ponto inicial, os apoios e um ponto de término.